Номер 368, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.3. Выделение полного квадрата. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 368, страница 106.

Условие.

Выделите полный квадрат из многочлена (368–370):

368. a) $a^2 + 2a + 2;$

б) $x^2 - 2x + 3;$

в) $m^2 - 2m - 1;$

г) $4 + 2q + q^2;$

д) $x^2 + 6x + 1;$

е) $a^2 - 4a + 1;$

ж) $m^2 - 6m + 9;$

з) $16 + 8p + p^2;$

и) $a^2 - 2a;$

к) $x^2 + 6x;$

л) $m + m^2 + 1;$

м) $3 + p^2 - p.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для выделения полного квадрата из многочлена используется одна из формул сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

Суть метода заключается в том, чтобы к первым двум членам многочлена (квадрату и удвоенному произведению) добавить и отнять такой член, чтобы получилась одна из этих формул.

а) $a^2 + 2a + 2$

Используем формулу квадрата суммы. Первый член $a^2$. Удвоенное произведение равно $2a = 2 \cdot a \cdot 1$. Значит, в качестве второго члена квадрата нужно взять $1^2=1$.

Представим многочлен в виде:

$a^2 + 2a + 2 = (a^2 + 2a + 1) + 1 = (a+1)^2 + 1$.

Ответ: $(a+1)^2 + 1$

б) $x^2 - 2x + 3$

Используем формулу квадрата разности. Первый член $x^2$. Удвоенное произведение равно $2x = 2 \cdot x \cdot 1$. Значит, в качестве второго члена квадрата нужно взять $1^2=1$.

Представим многочлен в виде:

$x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x-1)^2 + 2$.

Ответ: $(x-1)^2 + 2$

в) $m^2 - 2m - 1$

Используем формулу квадрата разности. Первый член $m^2$. Удвоенное произведение равно $2m = 2 \cdot m \cdot 1$. Значит, для полного квадрата нам нужен член $1^2=1$.

Добавим и вычтем 1:

$m^2 - 2m - 1 = (m^2 - 2m + 1) - 1 - 1 = (m-1)^2 - 2$.

Ответ: $(m-1)^2 - 2$

г) $4 + 2q + q^2$

Перепишем многочлен в стандартном виде: $q^2 + 2q + 4$.

Используем формулу квадрата суммы. Первый член $q^2$. Удвоенное произведение равно $2q = 2 \cdot q \cdot 1$. Значит, второй член квадрата равен $1^2=1$.

$q^2 + 2q + 4 = (q^2 + 2q + 1) + 3 = (q+1)^2 + 3$.

Ответ: $(q+1)^2 + 3$

д) $x^2 + 6x + 1$

Используем формулу квадрата суммы. Первый член $x^2$. Удвоенное произведение равно $6x = 2 \cdot x \cdot 3$. Значит, второй член квадрата равен $3^2=9$.

Добавим и вычтем 9:

$x^2 + 6x + 1 = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 1 = (x+3)^2 - 8$.

Ответ: $(x+3)^2 - 8$

е) $a^2 - 4a + 1$

Используем формулу квадрата разности. Первый член $a^2$. Удвоенное произведение равно $4a = 2 \cdot a \cdot 2$. Значит, второй член квадрата равен $2^2=4$.

Добавим и вычтем 4:

$a^2 - 4a + 1 = (a^2 - 4a + 4) - 4 + 1 = (a-2)^2 - 3$.

Ответ: $(a-2)^2 - 3$

ж) $m^2 - 6m + 9$

Данный многочлен уже является полным квадратом. Проверим по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x=m$, $y=3$. Тогда $2xy = 2 \cdot m \cdot 3 = 6m$.

Следовательно, $m^2 - 6m + 9 = (m-3)^2$.

Ответ: $(m-3)^2$

з) $16 + 8p + p^2$

Перепишем многочлен: $p^2 + 8p + 16$.

Данный многочлен уже является полным квадратом. Проверим по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x=p$, $y=4$. Тогда $2xy = 2 \cdot p \cdot 4 = 8p$.

Следовательно, $p^2 + 8p + 16 = (p+4)^2$.

Ответ: $(p+4)^2$

и) $a^2 - 2a$

Используем формулу квадрата разности. Первый член $a^2$. Удвоенное произведение $2a = 2 \cdot a \cdot 1$. Значит, второй член квадрата равен $1^2=1$.

Добавим и вычтем 1:

$a^2 - 2a = (a^2 - 2a + 1) - 1 = (a-1)^2 - 1$.

Ответ: $(a-1)^2 - 1$

к) $x^2 + 6x$

Используем формулу квадрата суммы. Первый член $x^2$. Удвоенное произведение $6x = 2 \cdot x \cdot 3$. Значит, второй член квадрата равен $3^2=9$.

Добавим и вычтем 9:

$x^2 + 6x = (x^2 + 6x + 9) - 9 = (x+3)^2 - 9$.

Ответ: $(x+3)^2 - 9$

л) $m + m^2 + 1$

Перепишем многочлен: $m^2 + m + 1$.

Используем формулу квадрата суммы. Первый член $m^2$. Удвоенное произведение $m = 2 \cdot m \cdot \frac{1}{2}$. Значит, второй член квадрата равен $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Добавим и вычтем $\frac{1}{4}$:

$m^2 + m + 1 = (m^2 + m + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 1 = (m + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.

Ответ: $(m + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

м) $3 + p^2 - p$

Перепишем многочлен: $p^2 - p + 3$.

Используем формулу квадрата разности. Первый член $p^2$. Удвоенное произведение $p = 2 \cdot p \cdot \frac{1}{2}$. Значит, второй член квадрата равен $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Добавим и вычтем $\frac{1}{4}$:

$p^2 - p + 3 = (p^2 - p + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 3 = (p - \frac{1}{2})^2 + (\frac{12}{4} - \frac{1}{4}) = (p - \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$.

Ответ: $(p - \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}$