Номер 370, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.3. Выделение полного квадрата. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 370, страница 107.

Условие.

370. а) $4x^2 + 4x + 5$;

б) $9x^2 + 6x + 7$;

в) $16x^2 + 8x - 1$;

г) $25x^2 + 20x + 3$;

д) $4x^2 + 4x + 3$;

е) $9x^2 + 18x + 4$;

ж) $2x^2 + 4x + 5$;

з) $5x^2 + 20x + 1$;

и) $3x^2 - 12x + 16$;

к) $6x^2 - 24x + 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Рассмотрим выражение $4x^2 + 4x + 5$. Для выделения полного квадрата воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Представим первые два слагаемых в нужном виде: $4x^2+4x+5 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 5$.

Для получения полного квадрата не хватает слагаемого $1^2=1$. Добавим и вычтем его:

$( (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 ) - 1^2 + 5$.

Сгруппируем слагаемые в скобках в полный квадрат и упростим выражение:

$(2x+1)^2 - 1 + 5 = (2x+1)^2 + 4$.

Ответ: $(2x+1)^2 + 4$.

б)

Рассмотрим выражение $9x^2 + 6x + 7$. Для выделения полного квадрата воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Представим первые два слагаемых в нужном виде: $9x^2+6x+7 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 7$.

Для полного квадрата не хватает слагаемого $1^2=1$. Добавим и вычтем его:

$( (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 ) - 1^2 + 7$.

Сгруппируем слагаемые в скобках в полный квадрат и упростим выражение:

$(3x+1)^2 - 1 + 7 = (3x+1)^2 + 6$.

Ответ: $(3x+1)^2 + 6$.

в)

Рассмотрим выражение $16x^2 + 8x - 1$. Для выделения полного квадрата воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Представим первые два слагаемых в нужном виде: $16x^2+8x-1 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot 1 - 1$.

Для полного квадрата не хватает слагаемого $1^2=1$. Добавим и вычтем его:

$( (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot 1 + 1^2 ) - 1^2 - 1$.

Сгруппируем слагаемые в скобках в полный квадрат и упростим выражение:

$(4x+1)^2 - 1 - 1 = (4x+1)^2 - 2$.

Ответ: $(4x+1)^2 - 2$.

г)

Рассмотрим выражение $25x^2 + 20x + 3$. Для выделения полного квадрата воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Представим первые два слагаемых в нужном виде: $25x^2+20x+3 = (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot 2 + 3$.

Для полного квадрата не хватает слагаемого $2^2=4$. Добавим и вычтем его:

$( (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot 2 + 2^2 ) - 2^2 + 3$.

Сгруппируем слагаемые в скобках в полный квадрат и упростим выражение:

$(5x+2)^2 - 4 + 3 = (5x+2)^2 - 1$.

Ответ: $(5x+2)^2 - 1$.

д)

Рассмотрим выражение $4x^2 + 4x + 3$. Для выделения полного квадрата воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Представим первые два слагаемых в нужном виде: $4x^2+4x+3 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 3$.

Для полного квадрата не хватает слагаемого $1^2=1$. Добавим и вычтем его:

$( (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 ) - 1^2 + 3$.

Сгруппируем слагаемые в скобках в полный квадрат и упростим выражение:

$(2x+1)^2 - 1 + 3 = (2x+1)^2 + 2$.

Ответ: $(2x+1)^2 + 2$.

е)

Рассмотрим выражение $9x^2 + 18x + 4$. Для выделения полного квадрата воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Представим первые два слагаемых в нужном виде: $9x^2+18x+4 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 3 + 4$.

Для полного квадрата не хватает слагаемого $3^2=9$. Добавим и вычтем его:

$( (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 3 + 3^2 ) - 3^2 + 4$.

Сгруппируем слагаемые в скобках в полный квадрат и упростим выражение:

$(3x+3)^2 - 9 + 4 = (3x+3)^2 - 5$.

Также можно вынести общий множитель 3 из скобки: $(3(x+1))^2 - 5 = 9(x+1)^2 - 5$.

Ответ: $9(x+1)^2 - 5$.

ж)

Рассмотрим выражение $2x^2 + 4x + 5$. Для выделения полного квадрата вынесем за скобки коэффициент при $x^2$, то есть 2, из первых двух слагаемых.

$2x^2 + 4x + 5 = 2(x^2 + 2x) + 5$.

Теперь выделим полный квадрат в скобках. Для выражения $x^2 + 2x$ не хватает слагаемого $1^2=1$. Добавим и вычтем его внутри скобок:

$2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 5 = 2((x + 1)^2 - 1) + 5$.

Раскроем внешние скобки и приведём подобные слагаемые:

$2(x + 1)^2 - 2 \cdot 1 + 5 = 2(x+1)^2 + 3$.

Ответ: $2(x+1)^2 + 3$.

з)

Рассмотрим выражение $5x^2 + 20x + 1$. Вынесем за скобки коэффициент 5 из первых двух слагаемых.

$5x^2 + 20x + 1 = 5(x^2 + 4x) + 1$.

Выделим полный квадрат в скобках. Для выражения $x^2 + 4x$ не хватает слагаемого $2^2=4$. Добавим и вычтем его внутри скобок:

$5(x^2 + 4x + 4 - 4) + 1 = 5((x + 2)^2 - 4) + 1$.

Раскроем внешние скобки и приведём подобные слагаемые:

$5(x + 2)^2 - 5 \cdot 4 + 1 = 5(x+2)^2 - 20 + 1 = 5(x+2)^2 - 19$.

Ответ: $5(x+2)^2 - 19$.

и)

Рассмотрим выражение $3x^2 - 12x + 16$. Вынесем за скобки коэффициент 3 из первых двух слагаемых.

$3x^2 - 12x + 16 = 3(x^2 - 4x) + 16$.

Выделим полный квадрат в скобках, используя формулу квадрата разности. Для выражения $x^2 - 4x$ не хватает слагаемого $2^2=4$. Добавим и вычтем его внутри скобок:

$3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 16 = 3((x - 2)^2 - 4) + 16$.

Раскроем внешние скобки и приведём подобные слагаемые:

$3(x - 2)^2 - 3 \cdot 4 + 16 = 3(x-2)^2 - 12 + 16 = 3(x-2)^2 + 4$.

Ответ: $3(x-2)^2 + 4$.

к)

Рассмотрим выражение $6x^2 - 24x + 1$. Вынесем за скобки коэффициент 6 из первых двух слагаемых.

$6x^2 - 24x + 1 = 6(x^2 - 4x) + 1$.

Выделим полный квадрат в скобках. Для выражения $x^2 - 4x$ не хватает слагаемого $2^2=4$. Добавим и вычтем его внутри скобок:

$6(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = 6((x - 2)^2 - 4) + 1$.

Раскроем внешние скобки и приведём подобные слагаемые:

$6(x - 2)^2 - 6 \cdot 4 + 1 = 6(x-2)^2 - 24 + 1 = 6(x-2)^2 - 23$.

Ответ: $6(x-2)^2 - 23$.