Номер 362, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.2. Квадрат разности. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 362, страница 104.

Условие.

362. Выясните, является ли многочлен квадратом какого-либо двучлена:

а) $a^2 - 4ab + 4b^2;$

б) $x^2 - 4x + 4;$

в) $a^4 - 2a^2 + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы выяснить, является ли многочлен $a^2 - 4ab + 4b^2$ квадратом какого-либо двучлена, мы должны проверить, соответствует ли он формуле квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае, первый член $a^2$ — это квадрат $a$, то есть $x = a$.

Третий член $4b^2$ — это квадрат $2b$, то есть $y = 2b$.

Теперь проверим, равен ли средний член $-4ab$ удвоенному произведению $x$ и $y$ со знаком минус, то есть $-2xy$.

Вычисляем: $-2 \cdot a \cdot (2b) = -4ab$.

Поскольку средний член совпадает, данный многочлен является квадратом двучлена $(a - 2b)$.

$a^2 - 4ab + 4b^2 = (a)^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a - 2b)^2$.

Ответ: Да, является. Это квадрат двучлена $(a - 2b)$.

б) Рассмотрим многочлен $x^2 - 4x + 4$. Снова используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В этом выражении первый член $x^2$ — это квадрат $x$.

Третий член $4$ — это квадрат $2$.

Предположим, что $x$ из формулы равен $x$ из нашего многочлена, а $y$ из формулы равен $2$.

Проверим средний член. Он должен быть равен $-2xy$.

Подставляем наши значения: $-2 \cdot x \cdot 2 = -4x$.

Этот результат совпадает со средним членом исходного многочлена. Таким образом, многочлен является квадратом двучлена $(x - 2)$.

$x^2 - 4x + 4 = (x)^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + (2)^2 = (x - 2)^2$.

Ответ: Да, является. Это квадрат двучлена $(x - 2)$.

в) Проанализируем многочлен $a^4 - 2a^2 + 1$ по той же формуле квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Первый член $a^4$ можно представить как квадрат от $a^2$, то есть $(a^2)^2$. Значит, $x = a^2$.

Третий член $1$ является квадратом $1$, то есть $(1)^2$. Значит, $y = 1$.

Проверим средний член. Он должен быть равен $-2xy$.

Подставляем наши значения: $-2 \cdot a^2 \cdot 1 = -2a^2$.

Средний член совпадает с исходным. Следовательно, многочлен является квадратом двучлена $(a^2 - 1)$.

$a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 1 + (1)^2 = (a^2 - 1)^2$.

Ответ: Да, является. Это квадрат двучлена $(a^2 - 1)$.