Номер 357, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.2. Квадрат разности. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 357, страница 103.

Условие.

357. Представьте многочлен в виде квадрата разности:

а) $a^2 - 2ab + b^2;$

б) $4x^2 - 4xy + y^2;$ Рис. 14

в) $9m^2 - 6m + 1;$

г) $25 - 30c + 9c^2;$

д) $16p^2 - 56pq + 49q^2;$

е) $100a^2 + 25b^2 - 100ab;$

ж) $x^4 - 6x^2y + 9y^2;$

з) $16 + 9x^6 - 24x^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Данный многочлен $a^2 - 2ab + b^2$ является точным соответствием формулы квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В этом выражении $x$ соответствует $a$, а $y$ соответствует $b$.
Таким образом, $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Ответ: $(a - b)^2$.

б) Чтобы представить многочлен $4x^2 - 4xy + y^2$ в виде квадрата разности, воспользуемся формулой $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Определим $A$ и $B$. Первый член $A^2 = 4x^2$, значит $A = 2x$. Последний член $B^2 = y^2$, значит $B = y$.
Теперь проверим, соответствует ли средний член выражению $-2AB$: $-2 \cdot (2x) \cdot y = -4xy$.
Так как средний член совпадает, многочлен можно свернуть в квадрат разности: $4x^2 - 4xy + y^2 = (2x - y)^2$.
Ответ: $(2x - y)^2$.

в) Рассмотрим многочлен $9m^2 - 6m + 1$. Применяем формулу $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = 9m^2$, откуда $A = 3m$. Последний член $B^2 = 1$, откуда $B=1$.
Проверим удвоенное произведение: $-2AB = -2 \cdot (3m) \cdot 1 = -6m$.
Условие выполняется, следовательно, $9m^2 - 6m + 1 = (3m - 1)^2$.
Ответ: $(3m - 1)^2$.

г) Для многочлена $25 - 30c + 9c^2$ используем формулу $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = 25$, значит $A = 5$. Последний член $B^2 = 9c^2$, значит $B = 3c$.
Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot 5 \cdot (3c) = -30c$.
Многочлен является полным квадратом разности: $25 - 30c + 9c^2 = (5 - 3c)^2$.
Ответ: $(5 - 3c)^2$.

д) Рассмотрим многочлен $16p^2 - 56pq + 49q^2$. Применяем формулу $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = 16p^2$, значит $A = 4p$. Последний член $B^2 = 49q^2$, значит $B = 7q$.
Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (4p) \cdot (7q) = -56pq$.
Формула применима, поэтому $16p^2 - 56pq + 49q^2 = (4p - 7q)^2$.
Ответ: $(4p - 7q)^2$.

е) Для многочлена $100a^2 + 25b^2 - 100ab$ сначала изменим порядок членов для соответствия стандартной форме: $100a^2 - 100ab + 25b^2$.
Теперь применим формулу $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = 100a^2$, откуда $A = 10a$. Последний член $B^2 = 25b^2$, откуда $B = 5b$.
Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (10a) \cdot (5b) = -100ab$.
Следовательно, $100a^2 - 100ab + 25b^2 = (10a - 5b)^2$.
Ответ: $(10a - 5b)^2$.

ж) Для многочлена $x^4 - 6x^2y + 9y^2$ применяем формулу $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = x^4$, откуда $A = x^2$. Последний член $B^2 = 9y^2$, откуда $B = 3y$.
Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (x^2) \cdot (3y) = -6x^2y$.
Многочлен сворачивается в квадрат разности: $x^4 - 6x^2y + 9y^2 = (x^2 - 3y)^2$.
Ответ: $(x^2 - 3y)^2$.

з) Многочлен $16 + 9x^6 - 24x^3$ сначала упорядочим: $9x^6 - 24x^3 + 16$.
Применяем формулу $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = 9x^6$, значит $A = 3x^3$. Последний член $B^2 = 16$, значит $B = 4$.
Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (3x^3) \cdot 4 = -24x^3$.
Следовательно, $9x^6 - 24x^3 + 16 = (3x^3 - 4)^2$.
Ответ: $(3x^3 - 4)^2$.