Номер 354, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.2. Квадрат разности. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 354, страница 103.

Условие.

354. Преобразуйте выражение в многочлен:

а) $(\frac{1}{5}mn - m^3)^2;$

б) $(-\frac{1}{2} + 3bc)^2;$

в) $(\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{3}y^4)^2;$

г) $(-1\frac{1}{2}p^2 + \frac{2}{3}q)^2;$

д) $(1\frac{1}{3}ab^2 - 3a^2b)^2;$

е) $(2m^3n^2 - 2\frac{1}{2}mn^3)^2;$

ж) $(0.1a + 3a^2b)^2;$

з) $(1.2xy + 0.7x^2)^2;$

и) $(-0.5x^3y^2 + 0.3xy^5)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения всех пунктов задачи используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

а) Чтобы преобразовать выражение $(\frac{1}{5}mn - m^3)^2$ в многочлен, воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = \frac{1}{5}mn$ и $b = m^3$.

Находим квадрат первого члена: $a^2 = (\frac{1}{5}mn)^2 = \frac{1}{25}m^2n^2$.

Находим удвоенное произведение первого и второго членов: $2ab = 2 \cdot \frac{1}{5}mn \cdot m^3 = \frac{2}{5}m^{1+3}n = \frac{2}{5}m^4n$.

Находим квадрат второго члена: $b^2 = (m^3)^2 = m^{3 \cdot 2} = m^6$.

Собираем многочлен: $(\frac{1}{5}mn - m^3)^2 = \frac{1}{25}m^2n^2 - \frac{2}{5}m^4n + m^6$.

Ответ: $\frac{1}{25}m^2n^2 - \frac{2}{5}m^4n + m^6$

б) Преобразуем выражение $(-\frac{1}{2} + 3bc)^2$. Это можно сделать, представив его как $(3bc - \frac{1}{2})^2$ и применив формулу квадрата разности, или применив формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = -\frac{1}{2}$ и $b = 3bc$.

Квадрат первого члена: $a^2 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot 3bc = -3bc$.

Квадрат второго члена: $b^2 = (3bc)^2 = 9b^2c^2$.

Результат: $(-\frac{1}{2} + 3bc)^2 = \frac{1}{4} - 3bc + 9b^2c^2$. Запишем в стандартном виде.

Ответ: $9b^2c^2 - 3bc + \frac{1}{4}$

в) Для выражения $(\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{3}y^4)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = \frac{1}{2}x^3$ и $b = \frac{1}{3}y^4$.

$a^2 = (\frac{1}{2}x^3)^2 = \frac{1}{4}x^6$.

$2ab = 2 \cdot \frac{1}{2}x^3 \cdot \frac{1}{3}y^4 = \frac{1}{3}x^3y^4$.

$b^2 = (\frac{1}{3}y^4)^2 = \frac{1}{9}y^8$.

Таким образом, $(\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{3}y^4)^2 = \frac{1}{4}x^6 - \frac{1}{3}x^3y^4 + \frac{1}{9}y^8$.

Ответ: $\frac{1}{4}x^6 - \frac{1}{3}x^3y^4 + \frac{1}{9}y^8$

г) Преобразуем выражение $(-1\frac{1}{2}p^2 + \frac{2}{3}q)^2$. Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Выражение принимает вид $(-\frac{3}{2}p^2 + \frac{2}{3}q)^2$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = -\frac{3}{2}p^2$ и $b = \frac{2}{3}q$.

$a^2 = (-\frac{3}{2}p^2)^2 = \frac{9}{4}p^4$.

$2ab = 2 \cdot (-\frac{3}{2}p^2) \cdot (\frac{2}{3}q) = -2p^2q$.

$b^2 = (\frac{2}{3}q)^2 = \frac{4}{9}q^2$.

Итоговый многочлен: $(-\frac{3}{2}p^2 + \frac{2}{3}q)^2 = \frac{9}{4}p^4 - 2p^2q + \frac{4}{9}q^2$.

Ответ: $\frac{9}{4}p^4 - 2p^2q + \frac{4}{9}q^2$

д) Для выражения $(1\frac{1}{3}ab^2 - 3a^2b)^2$ сначала переведем смешанное число: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

Получаем $(\frac{4}{3}ab^2 - 3a^2b)^2$. Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = \frac{4}{3}ab^2$ и $b = 3a^2b$.

$a^2 = (\frac{4}{3}ab^2)^2 = \frac{16}{9}a^2b^4$.

$2ab = 2 \cdot \frac{4}{3}ab^2 \cdot 3a^2b = 8a^3b^3$.

$b^2 = (3a^2b)^2 = 9a^4b^2$.

Результат: $(\frac{4}{3}ab^2 - 3a^2b)^2 = \frac{16}{9}a^2b^4 - 8a^3b^3 + 9a^4b^2$.

Ответ: $9a^4b^2 - 8a^3b^3 + \frac{16}{9}a^2b^4$

е) Преобразуем $(2m^3n^2 - 2\frac{1}{2}mn^3)^2$. Переведем смешанное число $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.

Имеем $(2m^3n^2 - \frac{5}{2}mn^3)^2$. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Где $a = 2m^3n^2$ и $b = \frac{5}{2}mn^3$.

$a^2 = (2m^3n^2)^2 = 4m^6n^4$.

$2ab = 2 \cdot 2m^3n^2 \cdot \frac{5}{2}mn^3 = 10m^4n^5$.

$b^2 = (\frac{5}{2}mn^3)^2 = \frac{25}{4}m^2n^6$.

Многочлен: $(2m^3n^2 - \frac{5}{2}mn^3)^2 = 4m^6n^4 - 10m^4n^5 + \frac{25}{4}m^2n^6$.

Ответ: $4m^6n^4 - 10m^4n^5 + \frac{25}{4}m^2n^6$

ж) Раскроем скобки в выражении $(0,1a + 3a^2b)^2$, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x = 0,1a$ и $y = 3a^2b$.

$x^2 = (0,1a)^2 = 0,01a^2$.

$2xy = 2 \cdot 0,1a \cdot 3a^2b = 0,6a^3b$.

$y^2 = (3a^2b)^2 = 9a^4b^2$.

Получаем: $(0,1a + 3a^2b)^2 = 0,01a^2 + 0,6a^3b + 9a^4b^2$. Запишем в стандартном виде.

Ответ: $9a^4b^2 + 0,6a^3b + 0,01a^2$

з) Для выражения $(1,2xy + 0,7x^2)^2$ применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Где $a = 1,2xy$ и $b = 0,7x^2$.

$a^2 = (1,2xy)^2 = 1,44x^2y^2$.

$2ab = 2 \cdot 1,2xy \cdot 0,7x^2 = 1,68x^3y$.

$b^2 = (0,7x^2)^2 = 0,49x^4$.

Результат: $(1,2xy + 0,7x^2)^2 = 1,44x^2y^2 + 1,68x^3y + 0,49x^4$. Запишем в стандартном виде.

Ответ: $0,49x^4 + 1,68x^3y + 1,44x^2y^2$

и) Преобразуем выражение $(-0,5x^3y^2 + 0,3xy^5)^2$. Для удобства поменяем слагаемые местами: $(0,3xy^5 - 0,5x^3y^2)^2$.

Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = 0,3xy^5$ и $b = 0,5x^3y^2$.

Находим квадрат первого члена: $a^2 = (0,3xy^5)^2 = 0,09x^2y^{10}$.

Находим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 0,3xy^5 \cdot 0,5x^3y^2 = 0,3x^4y^7$.

Находим квадрат второго члена: $b^2 = (0,5x^3y^2)^2 = 0,25x^6y^4$.

Собираем многочлен: $0,09x^2y^{10} - 0,3x^4y^7 + 0,25x^6y^4$. Запишем в стандартном виде по убыванию степеней $x$.

Ответ: $0,25x^6y^4 - 0,3x^4y^7 + 0,09x^2y^{10}$