Номер 347, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.1. Квадрат суммы. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 347, страница 101.

Условие.

347. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

а) $(a + b)^2 + (a + b)(a - b)$;

б) $(a + 3)^2 + (x + 1)^2$;

в) $2(m + 1)^2 + 3(m + 2)^2$;

г) $5(p + q)^2 + 3(p + 2q)^2$;

д) $(2a + 3b)^2 - (3a + 2b)^2$;

е) $2(3x + y)^2 - 3(2x + 3y)^2$;

ж) $(m + n)^2 + 2(m + n)(2m - n) + (2m - n)^2$;

з) $2(p + 3q)(p + 2q) - (p + 2q)^2 - (3q + p)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы преобразовать выражение, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.
$(a + b)^2 + (a + b)(a - b) = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - b^2)$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - b^2 = (a^2 + a^2) + 2ab + (b^2 - b^2) = 2a^2 + 2ab$
Ответ: $2a^2 + 2ab$

б) Раскроем каждый квадрат суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. В данном выражении переменные разные ($a$ и $x$), поэтому многочлен будет содержать обе переменные.
$(a + 3)^2 + (x + 1)^2 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2) + (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2)$
$= (a^2 + 6a + 9) + (x^2 + 2x + 1)$
Приведем подобные слагаемые (в данном случае только числовые коэффициенты):
$a^2 + 6a + 9 + x^2 + 2x + 1 = a^2 + x^2 + 6a + 2x + 10$
Ответ: $a^2 + x^2 + 6a + 2x + 10$

в) Сначала раскроем скобки с квадратами, а затем умножим на стоящие перед ними коэффициенты.
$2(m + 1)^2 + 3(m + 2)^2 = 2(m^2 + 2m + 1) + 3(m^2 + 4m + 4)$
Теперь раскроем скобки, умножая каждый член многочлена на коэффициент:
$(2m^2 + 4m + 2) + (3m^2 + 12m + 12)$
Сложим многочлены и приведем подобные слагаемые:
$2m^2 + 4m + 2 + 3m^2 + 12m + 12 = (2m^2 + 3m^2) + (4m + 12m) + (2 + 12) = 5m^2 + 16m + 14$
Ответ: $5m^2 + 16m + 14$

г) Действуем аналогично предыдущему пункту: раскрываем квадраты, умножаем на коэффициенты и приводим подобные.
$5(p + q)^2 + 3(p + 2q)^2 = 5(p^2 + 2pq + q^2) + 3(p^2 + 2 \cdot p \cdot 2q + (2q)^2)$
$= 5(p^2 + 2pq + q^2) + 3(p^2 + 4pq + 4q^2)$
Раскрываем скобки:
$(5p^2 + 10pq + 5q^2) + (3p^2 + 12pq + 12q^2)$
Приводим подобные слагаемые:
$(5p^2 + 3p^2) + (10pq + 12pq) + (5q^2 + 12q^2) = 8p^2 + 22pq + 17q^2$
Ответ: $8p^2 + 22pq + 17q^2$

д) Раскроем каждый квадрат суммы, а затем выполним вычитание.
$(2a + 3b)^2 - (3a + 2b)^2 = ((2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2) - ((3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 2b + (2b)^2)$
$= (4a^2 + 12ab + 9b^2) - (9a^2 + 12ab + 4b^2)$
Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:
$4a^2 + 12ab + 9b^2 - 9a^2 - 12ab - 4b^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(4a^2 - 9a^2) + (12ab - 12ab) + (9b^2 - 4b^2) = -5a^2 + 0 + 5b^2 = 5b^2 - 5a^2$
Ответ: $5b^2 - 5a^2$

е) Раскроем квадраты, умножим на коэффициенты и приведем подобные слагаемые.
$2(3x + y)^2 - 3(2x + 3y)^2 = 2(9x^2 + 6xy + y^2) - 3(4x^2 + 12xy + 9y^2)$
$= (18x^2 + 12xy + 2y^2) - (12x^2 + 36xy + 27y^2)$
$= 18x^2 + 12xy + 2y^2 - 12x^2 - 36xy - 27y^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(18x^2 - 12x^2) + (12xy - 36xy) + (2y^2 - 27y^2) = 6x^2 - 24xy - 25y^2$
Ответ: $6x^2 - 24xy - 25y^2$

ж) Заметим, что это выражение является полным квадратом суммы. Оно имеет вид $A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2$, где $A = (m+n)$, а $B = (2m-n)$.
$(m + n)^2 + 2(m + n)(2m - n) + (2m - n)^2 = ((m + n) + (2m - n))^2$
Упростим выражение в скобках:
$(m + n + 2m - n)^2 = (3m)^2$
Возведем в квадрат:
$9m^2$
Ответ: $9m^2$

з) Заметим, что $(3q+p)^2$ то же самое, что и $(p+3q)^2$. Перепишем выражение:
$2(p + 3q)(p + 2q) - (p + 2q)^2 - (p + 3q)^2$
Вынесем знак минус за скобку:
$-( (p + 3q)^2 - 2(p + 3q)(p + 2q) + (p + 2q)^2 )$
Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности $A^2 - 2AB + B^2 = (A-B)^2$, где $A = (p+3q)$ и $B = (p+2q)$.
$-((p + 3q) - (p + 2q))^2$
Упростим выражение во внутренних скобках:
$-(p + 3q - p - 2q)^2 = -(q)^2$
В итоге получаем:
$-q^2$
Ответ: $-q^2$