Номер 341, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.1. Квадрат суммы. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 341, страница 101.

Условие.

341. Преобразуйте выражение в многочлен:

а) $(\frac{1}{2}+a)^{2}$;

б) $(x+\frac{1}{3})^{2}$;

в) $(m+0,2)^{2}$;

г) $(1,1+p)^{2}$;

д) $(\frac{1}{2}a+\frac{2}{3}b)^{2}$;

е) $(\frac{3}{4}x+\frac{1}{5}y)^{2}$;

ж) $(0,2m+2,1n)^{2}$;

з) $(0,4p+0,3q)^{2}$;

и) $(\frac{3}{5}ab+\frac{1}{2}c^{2})^{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для преобразования данных выражений в многочлен используется формула сокращенного умножения, известная как «квадрат суммы»:

$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

Применим эту формулу к каждому из выражений.

а) $(\frac{1}{2} + a)^2$

В этом выражении $A = \frac{1}{2}$ и $B = a$.

Подставляем в формулу:

$(\frac{1}{2} + a)^2 = (\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a + a^2$

Выполняем вычисления:

$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a = a$

Собираем все вместе:

$\frac{1}{4} + a + a^2$

Ответ: $\frac{1}{4} + a + a^2$

б) $(x + \frac{1}{3})^2$

Здесь $A = x$ и $B = \frac{1}{3}$.

Применяем формулу квадрата суммы:

$(x + \frac{1}{3})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2$

Упрощаем каждый член:

$x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}$

Ответ: $x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}$

в) $(m + 0,2)^2$

В данном случае $A = m$ и $B = 0,2$.

Используем формулу:

$(m + 0,2)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 0,2 + (0,2)^2$

Вычисляем значения:

$m^2 + 0,4m + 0,04$

Ответ: $m^2 + 0,4m + 0,04$

г) $(1,1 + p)^2$

Здесь $A = 1,1$ и $B = p$.

Раскрываем скобки по формуле:

$(1,1 + p)^2 = (1,1)^2 + 2 \cdot 1,1 \cdot p + p^2$

Производим расчеты:

$1,21 + 2,2p + p^2$

Ответ: $1,21 + 2,2p + p^2$

д) $(\frac{1}{2}a + \frac{2}{3}b)^2$

В этом выражении $A = \frac{1}{2}a$ и $B = \frac{2}{3}b$.

Подставляем в формулу квадрата суммы:

$(\frac{1}{2}a + \frac{2}{3}b)^2 = (\frac{1}{2}a)^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (\frac{2}{3}b) + (\frac{2}{3}b)^2$

Возводим в квадрат и умножаем:

$\frac{1}{4}a^2 + \frac{4}{6}ab + \frac{4}{9}b^2$

Сокращаем дробь в среднем члене:

$\frac{1}{4}a^2 + \frac{2}{3}ab + \frac{4}{9}b^2$

Ответ: $\frac{1}{4}a^2 + \frac{2}{3}ab + \frac{4}{9}b^2$

е) $(\frac{3}{4}x + \frac{1}{5}y)^2$

Здесь $A = \frac{3}{4}x$ и $B = \frac{1}{5}y$.

Применяем формулу:

$(\frac{3}{4}x + \frac{1}{5}y)^2 = (\frac{3}{4}x)^2 + 2 \cdot (\frac{3}{4}x) \cdot (\frac{1}{5}y) + (\frac{1}{5}y)^2$

Выполняем вычисления:

$\frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{20}xy + \frac{1}{25}y^2$

Сокращаем дробь $\frac{6}{20}$ на 2:

$\frac{9}{16}x^2 + \frac{3}{10}xy + \frac{1}{25}y^2$

Ответ: $\frac{9}{16}x^2 + \frac{3}{10}xy + \frac{1}{25}y^2$

ж) $(0,2m + 2,1n)^2$

В этом случае $A = 0,2m$ и $B = 2,1n$.

Раскрываем скобки по формуле:

$(0,2m + 2,1n)^2 = (0,2m)^2 + 2 \cdot (0,2m) \cdot (2,1n) + (2,1n)^2$

Вычисляем квадраты и произведение:

$0,04m^2 + 0,84mn + 4,41n^2$

Ответ: $0,04m^2 + 0,84mn + 4,41n^2$

з) $(0,4p + 0,3q)^2$

Здесь $A = 0,4p$ и $B = 0,3q$.

Используем формулу квадрата суммы:

$(0,4p + 0,3q)^2 = (0,4p)^2 + 2 \cdot (0,4p) \cdot (0,3q) + (0,3q)^2$

Производим расчеты:

$0,16p^2 + 0,24pq + 0,09q^2$

Ответ: $0,16p^2 + 0,24pq + 0,09q^2$

и) $(\frac{3}{5}ab + \frac{1}{2}c^2)^2$

В этом выражении $A = \frac{3}{5}ab$ и $B = \frac{1}{2}c^2$.

Подставляем в формулу:

$(\frac{3}{5}ab + \frac{1}{2}c^2)^2 = (\frac{3}{5}ab)^2 + 2 \cdot (\frac{3}{5}ab) \cdot (\frac{1}{2}c^2) + (\frac{1}{2}c^2)^2$

Выполняем возведение в степень и умножение:

$\frac{9}{25}a^2b^2 + \frac{6}{10}abc^2 + \frac{1}{4}c^4$

Сокращаем дробь в среднем члене:

$\frac{9}{25}a^2b^2 + \frac{3}{5}abc^2 + \frac{1}{4}c^4$

Ответ: $\frac{9}{25}a^2b^2 + \frac{3}{5}abc^2 + \frac{1}{4}c^4$