Номер 352, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.2. Квадрат разности. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 352, страница 103.

Условие.

352. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида двумя способами:

а) $(a-b)^2$;б) $(x-3)^2$;в) $(1-m)^2$;г) $(5+p)^2$;

д) $(2a-3)^2$;е) $(4-3y)^2$;ж) $(3m+2n)^2$;з) $(5p-2q)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $(a - b)^2$

Способ 1: Умножение многочленов

По определению степени, квадрат выражения равен произведению этого выражения на самого себя. Раскроем скобки:

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b = a^2 - ab - ab + b^2$

Приводим подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + b^2$

Способ 2: Формула квадрата разности

Используем формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x = a$ и $y = b$:

$(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Ответ: $a^2 - 2ab + b^2$

б) $(x - 3)^2$

Способ 1: Умножение многочленов

$(x - 3)^2 = (x - 3)(x - 3) = x \cdot x - x \cdot 3 - 3 \cdot x + (-3) \cdot (-3) = x^2 - 3x - 3x + 9$

Приводим подобные слагаемые:

$x^2 - 6x + 9$

Способ 2: Формула квадрата разности

Используем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = x$ и $b = 3$:

$(x - 3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$

Ответ: $x^2 - 6x + 9$

в) $(1 - m)^2$

Способ 1: Умножение многочленов

$(1 - m)^2 = (1 - m)(1 - m) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot m - m \cdot 1 + m \cdot m = 1 - m - m + m^2$

Приводим подобные слагаемые и записываем в стандартном виде:

$m^2 - 2m + 1$

Способ 2: Формула квадрата разности

Используем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = 1$ и $b = m$:

$(1 - m)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot m + m^2 = 1 - 2m + m^2$

Записываем в стандартном виде:

$m^2 - 2m + 1$

Ответ: $m^2 - 2m + 1$

г) $(5 + p)^2$

Способ 1: Умножение многочленов

$(5 + p)^2 = (5 + p)(5 + p) = 5 \cdot 5 + 5 \cdot p + p \cdot 5 + p \cdot p = 25 + 5p + 5p + p^2$

Приводим подобные слагаемые и записываем в стандартном виде:

$p^2 + 10p + 25$

Способ 2: Формула квадрата суммы

Используем формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a = 5$ и $b = p$:

$(5 + p)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot p + p^2 = 25 + 10p + p^2$

Записываем в стандартном виде:

$p^2 + 10p + 25$

Ответ: $p^2 + 10p + 25$

д) $(2a - 3)^2$

Способ 1: Умножение многочленов

$(2a - 3)^2 = (2a - 3)(2a - 3) = 2a \cdot 2a - 2a \cdot 3 - 3 \cdot 2a + (-3) \cdot (-3) = 4a^2 - 6a - 6a + 9$

Приводим подобные слагаемые:

$4a^2 - 12a + 9$

Способ 2: Формула квадрата разности

Используем формулу $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x = 2a$ и $y = 3$:

$(2a - 3)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot 3 + 3^2 = 4a^2 - 12a + 9$

Ответ: $4a^2 - 12a + 9$

е) $(4 - 3y)^2$

Способ 1: Умножение многочленов

$(4 - 3y)^2 = (4 - 3y)(4 - 3y) = 4 \cdot 4 - 4 \cdot 3y - 3y \cdot 4 + (-3y) \cdot (-3y) = 16 - 12y - 12y + 9y^2$

Приводим подобные слагаемые и записываем в стандартном виде:

$9y^2 - 24y + 16$

Способ 2: Формула квадрата разности

Используем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = 4$ и $b = 3y$:

$(4 - 3y)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot (3y) + (3y)^2 = 16 - 24y + 9y^2$

Записываем в стандартном виде:

$9y^2 - 24y + 16$

Ответ: $9y^2 - 24y + 16$

ж) $(3m + 2n)^2$

Способ 1: Умножение многочленов

$(3m + 2n)^2 = (3m + 2n)(3m + 2n) = 3m \cdot 3m + 3m \cdot 2n + 2n \cdot 3m + 2n \cdot 2n = 9m^2 + 6mn + 6mn + 4n^2$

Приводим подобные слагаемые:

$9m^2 + 12mn + 4n^2$

Способ 2: Формула квадрата суммы

Используем формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a = 3m$ и $b = 2n$:

$(3m + 2n)^2 = (3m)^2 + 2 \cdot (3m) \cdot (2n) + (2n)^2 = 9m^2 + 12mn + 4n^2$

Ответ: $9m^2 + 12mn + 4n^2$

з) $(5p - 2q)^2$

Способ 1: Умножение многочленов

$(5p - 2q)^2 = (5p - 2q)(5p - 2q) = 5p \cdot 5p - 5p \cdot 2q - 2q \cdot 5p + (-2q) \cdot (-2q) = 25p^2 - 10pq - 10pq + 4q^2$

Приводим подобные слагаемые:

$25p^2 - 20pq + 4q^2$

Способ 2: Формула квадрата разности

Используем формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a = 5p$ и $b = 2q$:

$(5p - 2q)^2 = (5p)^2 - 2 \cdot (5p) \cdot (2q) + (2q)^2 = 25p^2 - 20pq + 4q^2$

Ответ: $25p^2 - 20pq + 4q^2$