Номер 384, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.4. Разность квадратов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 384, страница 108.

Условие.

384. Вместо букв $C$ и $D$ подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:

а) $(2a - C)(2a + b^2) = 4a^2 - b^4;$

б) $(C + D)(x^2 - y) = x^4 - y^2;$

в) $(3m - C)(D + 2n) = 9m^2 - 4n^2;$

г) $(C + 5q)(5q + D) = 25q^2 - 16p^4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Правая часть равенства, $4a^2 - b^4$, является разностью квадратов, так как её можно записать в виде $(2a)^2 - (b^2)^2$.

Применим формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В нашем случае $x = 2a$ и $y = b^2$, поэтому $4a^2 - b^4 = (2a - b^2)(2a + b^2)$.

Теперь сравним полученное выражение с левой частью исходного равенства: $(2a - C)(2a + b^2)$.

Множители $(2a + b^2)$ в обоих выражениях совпадают. Следовательно, должны совпадать и первые множители:

$2a - C = 2a - b^2$

Из этого уравнения очевидно, что искомый одночлен $C$ равен $b^2$.

Ответ: $C = b^2$.

б)

Рассмотрим правую часть равенства: $x^4 - y^2$. Это разность квадратов, которую можно представить как $(x^2)^2 - y^2$.

По формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ получаем:

$(x^2)^2 - y^2 = (x^2 - y)(x^2 + y)$.

Исходное равенство имеет вид $(C + D)(x^2 - y) = x^4 - y^2$.

Сравнивая левую часть $(C + D)(x^2 - y)$ с разложением $(x^2 + y)(x^2 - y)$, мы видим, что множитель $(x^2 - y)$ является общим.

Это означает, что второй множитель $(C + D)$ должен быть равен $(x^2 + y)$:

$C + D = x^2 + y$

По условию, C и D — это одночлены. Чтобы их сумма была равна многочлену $x^2 + y$, естественно выбрать $C = x^2$ и $D = y$ (или наоборот).

Ответ: $C = x^2, D = y$.

в)

Правая часть равенства $9m^2 - 4n^2$ является разностью квадратов: $(3m)^2 - (2n)^2$.

Применив формулу разности квадратов, получим разложение на множители:

$(3m)^2 - (2n)^2 = (3m - 2n)(3m + 2n)$.

Сравним это разложение с левой частью исходного уравнения: $(3m - C)(D + 2n)$.

Сопоставляя соответствующие множители, мы можем однозначно определить C и D:

Первый множитель: $3m - C$ должен быть равен $3m - 2n$. Отсюда следует, что $C = 2n$.

Второй множитель: $D + 2n$ должен быть равен $3m + 2n$. Отсюда следует, что $D = 3m$.

Найденные $C = 2n$ и $D = 3m$ являются одночленами, что соответствует условию задачи.

Ответ: $C = 2n, D = 3m$.

г)

Правая часть равенства $25q^2 - 16p^4$ — это разность квадратов вида $(5q)^2 - (4p^2)^2$.

Используя формулу разности квадратов, раскладываем это выражение на множители:

$(5q)^2 - (4p^2)^2 = (5q - 4p^2)(5q + 4p^2)$.

Левую часть равенства $(C + 5q)(5q + D)$ можно переписать, поменяв слагаемые в первой скобке: $(5q + C)(5q + D)$.

Теперь необходимо, чтобы произведение $(5q + C)(5q + D)$ было равно произведению $(5q - 4p^2)(5q + 4p^2)$. Это возможно в двух случаях, так как множители можно поменять местами.

Случай 1: $5q + C = 5q - 4p^2$ и $5q + D = 5q + 4p^2$.

Из первого уравнения получаем $C = -4p^2$. Из второго уравнения получаем $D = 4p^2$.

Случай 2: $5q + C = 5q + 4p^2$ и $5q + D = 5q - 4p^2$.

Из первого уравнения получаем $C = 4p^2$. Из второго уравнения получаем $D = -4p^2$.

Оба решения являются верными. Выберем одно из них.

Ответ: $C = -4p^2, D = 4p^2$ (или $C = 4p^2, D = -4p^2$).