Страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

319. Вычислите значение целого выражения:

а) $3x - 8;$

б) $3x^2 + 4x + 1;$

в) $x^4 + 2x^3 + 8x^2 + x$

при $x = -10.$

Например, если $x = -2,$ то $2x^2 - 7x + 5 = 2 \cdot (-2)^2 - 7 \cdot (-2) + 5 = 2 \cdot 4 + 7 \cdot 2 + 5 = 8 + 14 + 5 = 27.$

а) Чтобы вычислить значение выражения $3x - 8$ при $x = -10$, подставим это значение вместо $x$:
$3 \cdot (-10) - 8 = -30 - 8 = -38$
Ответ: -38

б) Подставим значение $x = -10$ в выражение $3x^2 + 4x + 1$. Сначала выполним возведение в степень, затем умножение и в конце сложение и вычитание:
$3 \cdot (-10)^2 + 4 \cdot (-10) + 1 = 3 \cdot 100 - 40 + 1 = 300 - 40 + 1 = 260 + 1 = 261$
Ответ: 261

в) Подставим значение $x = -10$ в выражение $x^4 + 2x^3 + 8x^2 + x$. Помним, что отрицательное число в четной степени дает положительный результат, а в нечетной — отрицательный.
$(-10)^4 + 2 \cdot (-10)^3 + 8 \cdot (-10)^2 + (-10) = 10000 + 2 \cdot (-1000) + 8 \cdot 100 - 10$
$10000 - 2000 + 800 - 10 = 8000 + 800 - 10 = 8800 - 10 = 8790$
Ответ: 8790

320. Вычислите значение целого выражения:

а) $abc;$

б) $ab^2c^3;$

в) $3a^2(bc)^3;$

г) $(2ab)^3c^2;$

д) $(a^2 - b^2) - 3c;$

е) $7(a^3 - b^2)^2 + c^3$

при $a = -1, b = 2, c = 3.$

Для вычисления значений выражений подставим заданные значения переменных $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$.

а) $abc$

Подставляем значения в выражение:

$abc = (-1) \cdot 2 \cdot 3 = -2 \cdot 3 = -6$.

Ответ: -6

б) $ab^2c^3$

Подставляем значения в выражение:

$ab^2c^3 = (-1) \cdot 2^2 \cdot 3^3 = (-1) \cdot 4 \cdot 27 = -4 \cdot 27 = -108$.

Ответ: -108

в) $3a^2(bc)^3$

Подставляем значения в выражение:

$3a^2(bc)^3 = 3 \cdot (-1)^2 \cdot (2 \cdot 3)^3 = 3 \cdot 1 \cdot 6^3 = 3 \cdot 216 = 648$.

Ответ: 648

г) $(2ab)^3 c^2$

Подставляем значения в выражение:

$(2ab)^3 c^2 = (2 \cdot (-1) \cdot 2)^3 \cdot 3^2 = (-4)^3 \cdot 9 = -64 \cdot 9 = -576$.

Ответ: -576

д) $(a^2 - b^2) - 3c$

Подставляем значения в выражение:

$(a^2 - b^2) - 3c = ((-1)^2 - 2^2) - 3 \cdot 3 = (1 - 4) - 9 = -3 - 9 = -12$.

Ответ: -12

е) $7(a^3 - b^2)^2 + c^3$

Подставляем значения в выражение:

$7(a^3 - b^2)^2 + c^3 = 7 \cdot ((-1)^3 - 2^2)^2 + 3^3 = 7 \cdot (-1 - 4)^2 + 27 = 7 \cdot (-5)^2 + 27 = 7 \cdot 25 + 27 = 175 + 27 = 202$.

Ответ: 202

321. Заполните таблицу:

$x$ 1 3 0 -1 -5 0,5 $-\frac{1}{3}$

$x - 1$

$x^2 - 1$

$x^2 - 3x$

$2x^2 - 3x + 7$

Чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения $x$ из верхней строки вычислить значения выражений из левого столбца.

x - 1

Для каждого значения $x$ из таблицы подставим его в выражение $x - 1$ и вычислим результат:

• При $x = 1$: $1 - 1 = 0$
• При $x = 3$: $3 - 1 = 2$
• При $x = 0$: $0 - 1 = -1$
• При $x = -1$: $-1 - 1 = -2$
• При $x = -5$: $-5 - 1 = -6$
• При $x = 0,5$: $0,5 - 1 = -0,5$
• При $x = -\frac{1}{3}$: $-\frac{1}{3} - 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$

Ответ: В строку для выражения $x - 1$ следует вписать числа: 0; 2; -1; -2; -6; -0,5; $-1\frac{1}{3}$.

x² - 1

Для каждого значения $x$ из таблицы подставим его в выражение $x^2 - 1$ и вычислим результат:

• При $x = 1$: $1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
• При $x = 3$: $3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$
• При $x = 0$: $0^2 - 1 = 0 - 1 = -1$
• При $x = -1$: $(-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
• При $x = -5$: $(-5)^2 - 1 = 25 - 1 = 24$
• При $x = 0,5$: $(0,5)^2 - 1 = 0,25 - 1 = -0,75$
• При $x = -\frac{1}{3}$: $(-\frac{1}{3})^2 - 1 = \frac{1}{9} - 1 = \frac{1}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{8}{9}$

Ответ: В строку для выражения $x^2 - 1$ следует вписать числа: 0; 8; -1; 0; 24; -0,75; $-\frac{8}{9}$.

x² - 3x

Для каждого значения $x$ из таблицы подставим его в выражение $x^2 - 3x$ и вычислим результат:

• При $x = 1$: $1^2 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2$
• При $x = 3$: $3^2 - 3 \cdot 3 = 9 - 9 = 0$
• При $x = 0$: $0^2 - 3 \cdot 0 = 0 - 0 = 0$
• При $x = -1$: $(-1)^2 - 3 \cdot (-1) = 1 + 3 = 4$
• При $x = -5$: $(-5)^2 - 3 \cdot (-5) = 25 + 15 = 40$
• При $x = 0,5$: $(0,5)^2 - 3 \cdot 0,5 = 0,25 - 1,5 = -1,25$
• При $x = -\frac{1}{3}$: $(-\frac{1}{3})^2 - 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{9} + 1 = \frac{1}{9} + \frac{9}{9} = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$

Ответ: В строку для выражения $x^2 - 3x$ следует вписать числа: -2; 0; 0; 4; 40; -1,25; $1\frac{1}{9}$.

2x² - 3x + 7

Для каждого значения $x$ из таблицы подставим его в выражение $2x^2 - 3x + 7$ и вычислим результат:

• При $x = 1$: $2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + 7 = 2 - 3 + 7 = 6$
• При $x = 3$: $2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 7 = 2 \cdot 9 - 9 + 7 = 18 - 9 + 7 = 16$
• При $x = 0$: $2 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 7 = 0 - 0 + 7 = 7$
• При $x = -1$: $2 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 7 = 2 \cdot 1 + 3 + 7 = 12$
• При $x = -5$: $2 \cdot (-5)^2 - 3 \cdot (-5) + 7 = 2 \cdot 25 + 15 + 7 = 50 + 15 + 7 = 72$
• При $x = 0,5$: $2 \cdot (0,5)^2 - 3 \cdot 0,5 + 7 = 2 \cdot 0,25 - 1,5 + 7 = 0,5 - 1,5 + 7 = 6$
• При $x = -\frac{1}{3}$: $2 \cdot (-\frac{1}{3})^2 - 3 \cdot (-\frac{1}{3}) + 7 = 2 \cdot \frac{1}{9} + 1 + 7 = \frac{2}{9} + 8 = 8\frac{2}{9}$

Ответ: В строку для выражения $2x^2 - 3x + 7$ следует вписать числа: 6; 16; 7; 12; 72; 6; $8\frac{2}{9}$.

Итоговая заполненная таблица:

322. Вычислите значение выражения:

а) $x^2$ при $x = 0,3$; $x = 0,01$; $x = 1,7$; $x = 0,001$; $x = 0,05$;

б) $a^2$ при заданных значениях $a$. Результаты запишите в таблицу:

a: 7, 1, -1, 2, 3, 4, -3, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $2\frac{1}{2}$

$a^2$:

а)

Чтобы вычислить значение выражения $x^2$ при заданных значениях $x$, нужно каждое значение $x$ возвести во вторую степень (умножить само на себя).

• При $x = 0,3$:
  $x^2 = (0,3)^2 = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09$.
• При $x = 0,01$:
  $x^2 = (0,01)^2 = 0,01 \cdot 0,01 = 0,0001$.
• При $x = 1,7$:
  $x^2 = (1,7)^2 = 1,7 \cdot 1,7 = 2,89$.
• При $x = 0,001$:
  $x^2 = (0,001)^2 = 0,001 \cdot 0,001 = 0,000001$.
• При $x = 0,05$:
  $x^2 = (0,05)^2 = 0,05 \cdot 0,05 = 0,0025$.

Ответ: 0,09; 0,0001; 2,89; 0,000001; 0,0025.

б)

Чтобы вычислить значение выражения $a^2$ для заданных значений $a$, необходимо каждое значение $a$ возвести в квадрат. Затем запишем результаты в таблицу.

• При $a = 7$: $a^2 = 7^2 = 49$.
• При $a = 1$: $a^2 = 1^2 = 1$.
• При $a = -1$: $a^2 = (-1)^2 = 1$.
• При $a = 2$: $a^2 = 2^2 = 4$.
• При $a = 3$: $a^2 = 3^2 = 9$.
• При $a = 4$: $a^2 = 4^2 = 16$.
• При $a = -3$: $a^2 = (-3)^2 = 9$.
• При $a = \frac{1}{2}$: $a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$.
• При $a = \frac{1}{3}$: $a^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$.
• При $a = 2\frac{1}{2}$: сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$. Тогда $a^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{5^2}{2^2} = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$.

Заполненная таблица:

Ответ: результаты вычислений представлены в заполненной таблице.