Номер 318, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.7. Целые выражения. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 318, страница 93.

Условие.

318. a) $(x^2 + y^2 + x + y)(x + y + xy)$;

б) $(2a^2bc - 3b^2c - 7bc^2)(a^2c - b^3c^2 + 3bc^3 - 8c^2)$;

в) $(m^2 - mn^2 - mn - n^2)(m - mn - n^2 + n)$;

г) $(0,1p^3 - 2p^2q - 0,5pq^2 + 1,2p^3)(8p^2 - 0,2pq + 5q^2)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $(x^2 + y^2 + x + y)(x + y + xy)$
Для решения данной задачи необходимо перемножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.
$x^2(x + y + xy) + y^2(x + y + xy) + x(x + y + xy) + y(x + y + xy) = $
$= (x^3 + x^2y + x^3y) + (xy^2 + y^3 + xy^3) + (x^2 + xy + x^2y) + (xy + y^2 + xy^2)$
Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:
$= x^3 + y^3 + (x^2y + x^2y) + (xy^2 + xy^2) + x^3y + xy^3 + x^2 + y^2 + (xy + xy) = $
$= x^3 + y^3 + 2x^2y + 2xy^2 + x^3y + xy^3 + x^2 + y^2 + 2xy$
Запишем итоговый многочлен, упорядочив слагаемые по убыванию степеней:
$= x^3y + xy^3 + x^3 + y^3 + 2x^2y + 2xy^2 + x^2 + y^2 + 2xy$
Ответ: $x^3y + xy^3 + x^3 + y^3 + 2x^2y + 2xy^2 + x^2 + y^2 + 2xy$.

б) $(2a^2bc - 3b^2c - 7bc^2)(a^2c - b^3c^2 + 3bc^3 - 8c^2)$
Раскроем скобки, последовательно умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$2a^2bc(a^2c - b^3c^2 + 3bc^3 - 8c^2) - 3b^2c(a^2c - b^3c^2 + 3bc^3 - 8c^2) - 7bc^2(a^2c - b^3c^2 + 3bc^3 - 8c^2) = $
$= (2a^4bc^2 - 2a^2b^4c^3 + 6a^2b^2c^4 - 16a^2bc^3) + (-3a^2b^2c^2 + 3b^5c^3 - 9b^3c^4 + 24b^2c^3) + (-7a^2bc^3 + 7b^4c^4 - 21b^2c^5 + 56bc^4)$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые. В данном выражении есть только одна пара подобных слагаемых: $-16a^2bc^3$ и $-7a^2bc^3$.
$= 2a^4bc^2 - 2a^2b^4c^3 + 6a^2b^2c^4 + (-16a^2bc^3 - 7a^2bc^3) - 3a^2b^2c^2 + 3b^5c^3 - 9b^3c^4 + 24b^2c^3 + 7b^4c^4 - 21b^2c^5 + 56bc^4 = $
$= 2a^4bc^2 - 2a^2b^4c^3 + 6a^2b^2c^4 - 23a^2bc^3 - 3a^2b^2c^2 + 3b^5c^3 - 9b^3c^4 + 24b^2c^3 + 7b^4c^4 - 21b^2c^5 + 56bc^4$
Ответ: $2a^4bc^2 - 3a^2b^2c^2 - 23a^2bc^3 + 6a^2b^2c^4 - 2a^2b^4c^3 + 24b^2c^3 - 21b^2c^5 - 9b^3c^4 + 56bc^4 + 7b^4c^4 + 3b^5c^3$.

в) $(m^2 - mn^2 - mn - n^2)(m - mn - n^2 + n)$
Для выполнения умножения раскроем скобки, перемножая каждый член первого многочлена на каждый член второго.
$m^2(m - mn - n^2 + n) - mn^2(m - mn - n^2 + n) - mn(m - mn - n^2 + n) - n^2(m - mn - n^2 + n) = $
$= (m^3 - m^3n - m^2n^2 + m^2n) + (-m^2n^2 + m^2n^3 + mn^4 - mn^3) + (-m^2n + m^2n^2 + mn^3 - mn^2) + (-mn^2 + mn^3 + n^4 - n^3)$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= m^3 - m^3n + (m^2n - m^2n) + (-m^2n^2 - m^2n^2 + m^2n^2) + m^2n^3 + (-mn^2 - mn^2) + (-mn^3 + mn^3 + mn^3) + mn^4 - n^3 + n^4 = $
$= m^3 - m^3n - m^2n^2 + m^2n^3 - 2mn^2 + mn^3 + mn^4 - n^3 + n^4$
Ответ: $m^3 - m^3n - m^2n^2 + m^2n^3 + mn^4 - 2mn^2 + mn^3 + n^4 - n^3$.

г) $(0,1p^3 - 2p^2q - 0,5pq^2 + 1,2p^3)(8p^2 - 0,2pq + 5q^2)$
В первую очередь упростим выражение в первой скобке, приведя подобные слагаемые:
$0,1p^3 + 1,2p^3 = 1,3p^3$.
Таким образом, исходное выражение принимает вид: $(1,3p^3 - 2p^2q - 0,5pq^2)(8p^2 - 0,2pq + 5q^2)$.
Теперь выполним умножение многочленов:
$1,3p^3(8p^2 - 0,2pq + 5q^2) - 2p^2q(8p^2 - 0,2pq + 5q^2) - 0,5pq^2(8p^2 - 0,2pq + 5q^2) = $
$= (10,4p^5 - 0,26p^4q + 6,5p^3q^2) + (-16p^4q + 0,4p^3q^2 - 10p^2q^3) + (-4p^3q^2 + 0,1p^2q^3 - 2,5pq^4)$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$= 10,4p^5 + (-0,26p^4q - 16p^4q) + (6,5p^3q^2 + 0,4p^3q^2 - 4p^3q^2) + (-10p^2q^3 + 0,1p^2q^3) - 2,5pq^4 = $
$= 10,4p^5 - 16,26p^4q + 2,9p^3q^2 - 9,9p^2q^3 - 2,5pq^4$
Ответ: $10,4p^5 - 16,26p^4q + 2,9p^3q^2 - 9,9p^2q^3 - 2,5pq^4$.