Номер 316, страница 93 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.7. Целые выражения. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 316, страница 93.

Условие.

Упростите целое выражение (316–318):

316. а) $(5ab^2 + 4b^3)(3ab^3 - 4a^2) - 18a^2b^3;$

б) $(7x^3y^2 - xy)(-2x^2y^2 + 5xy^3) + 12x^5y^4;$

в) $(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)(x - y) - x^2y(x - y);$

г) $a^2(a^2 - b^2) - (a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)(a + b);$

д) $2 - (-4x + 1)(x - 1) + 2(6x - 4)(x + 3);$

е) $6(x + 1)(x + 1) + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) - 2(x + 1);$

ж) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3);$

з) $3(3x - 1)(2x + 5) - 6(2x - 1)(x + 2);$

и) $(x^2 + 2)(x^2 + 2) - (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4);$

к) $5(a - 2)(a + 2) - \frac{1}{2}(8a - 6)(8a - 6) + 17.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) $(5ab^2 + 4b^3)(3ab^3 - 4a^2) - 18a^2b^3$

Сначала раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена:

$(5ab^2)(3ab^3) + (5ab^2)(-4a^2) + (4b^3)(3ab^3) + (4b^3)(-4a^2) - 18a^2b^3 = $

$= 15a^2b^5 - 20a^3b^2 + 12ab^6 - 16a^2b^3 - 18a^2b^3$

Теперь приведем подобные слагаемые (в данном случае это $-16a^2b^3$ и $-18a^2b^3$):

$15a^2b^5 - 20a^3b^2 + 12ab^6 + (-16 - 18)a^2b^3 = 15a^2b^5 - 20a^3b^2 + 12ab^6 - 34a^2b^3$

Ответ: $15a^2b^5 - 20a^3b^2 + 12ab^6 - 34a^2b^3$.

б) $(7x^3y^2 - xy)(-2x^2y^2 + 5xy^3) + 12x^5y^4$

Раскроем скобки:

$(7x^3y^2)(-2x^2y^2) + (7x^3y^2)(5xy^3) + (-xy)(-2x^2y^2) + (-xy)(5xy^3) + 12x^5y^4 = $

$= -14x^5y^4 + 35x^4y^5 + 2x^3y^3 - 5x^2y^4 + 12x^5y^4$

Приведем подобные слагаемые ($-14x^5y^4$ и $12x^5y^4$):

$(-14 + 12)x^5y^4 + 35x^4y^5 + 2x^3y^3 - 5x^2y^4 = -2x^5y^4 + 35x^4y^5 + 2x^3y^3 - 5x^2y^4$

Ответ: $-2x^5y^4 + 35x^4y^5 + 2x^3y^3 - 5x^2y^4$.

в) $(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)(x - y) - x^2y(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 - x^2y)$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(x - y)(x^3 + xy^2 + y^3)$

Теперь раскроем скобки:

$x(x^3 + xy^2 + y^3) - y(x^3 + xy^2 + y^3) = x^4 + x^2y^2 + xy^3 - x^3y - xy^3 - y^4$

Приведем подобные слагаемые ($xy^3$ и $-xy^3$):

$x^4 - x^3y + x^2y^2 - y^4$

Ответ: $x^4 - x^3y + x^2y^2 - y^4$.

г) $a^2(a^2 - b^2) - (a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)(a + b)$

Раскроем скобки в первом слагаемом: $a^2(a^2 - b^2) = a^4 - a^2b^2$.

Второе произведение является формулой разности четвертых степеней: $(a+b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) = a^4 - b^4$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(a^4 - a^2b^2) - (a^4 - b^4) = a^4 - a^2b^2 - a^4 + b^4$

Приведем подобные слагаемые ($a^4$ и $-a^4$):

$b^4 - a^2b^2$

Ответ: $b^4 - a^2b^2$.

д) $2 - (-4x + 1)(x - 1) + 2(6x - 4)(x + 3)$

Раскроем скобки в каждом произведении:

$(-4x + 1)(x - 1) = -4x^2 + 4x + x - 1 = -4x^2 + 5x - 1$

$2(6x - 4)(x + 3) = 2(6x^2 + 18x - 4x - 12) = 2(6x^2 + 14x - 12) = 12x^2 + 28x - 24$

Подставим в исходное выражение:

$2 - (-4x^2 + 5x - 1) + (12x^2 + 28x - 24) = 2 + 4x^2 - 5x + 1 + 12x^2 + 28x - 24$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 + 12x^2) + (-5x + 28x) + (2 + 1 - 24) = 16x^2 + 23x - 21$

Ответ: $16x^2 + 23x - 21$.

е) $6(x + 1)(x + 1) + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) - 2(x + 1)$

Упростим каждое слагаемое, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и разность кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$6(x + 1)^2 = 6(x^2 + 2x + 1) = 6x^2 + 12x + 6$

$2(x - 1)(x^2 + x + 1) = 2(x^3 - 1^3) = 2x^3 - 2$

$-2(x + 1) = -2x - 2$

Сложим полученные выражения:

$(6x^2 + 12x + 6) + (2x^3 - 2) + (-2x - 2) = 2x^3 + 6x^2 + 12x - 2x + 6 - 2 - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^3 + 6x^2 + 10x + 2$

Ответ: $2x^3 + 6x^2 + 10x + 2$.

ж) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3)$

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ и разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Первая часть: $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8$.

Вторая часть: $-x(x - 3)(x + 3) = -x(x^2 - 3^2) = -x(x^2 - 9) = -x^3 + 9x$.

Сложим полученные выражения:

$(x^3 + 8) + (-x^3 + 9x) = x^3 + 8 - x^3 + 9x$

Приведем подобные слагаемые:

$9x + 8$

Ответ: $9x + 8$.

з) $3(3x - 1)(2x + 5) - 6(2x - 1)(x + 2)$

Раскроем скобки в каждом слагаемом:

$3(6x^2 + 15x - 2x - 5) - 6(2x^2 + 4x - x - 2) = 3(6x^2 + 13x - 5) - 6(2x^2 + 3x - 2)$

Умножим на коэффициенты перед скобками:

$18x^2 + 39x - 15 - (12x^2 + 18x - 12) = 18x^2 + 39x - 15 - 12x^2 - 18x + 12$

Приведем подобные слагаемые:

$(18x^2 - 12x^2) + (39x - 18x) + (-15 + 12) = 6x^2 + 21x - 3$

Ответ: $6x^2 + 21x - 3$.

и) $(x^2 + 2)(x^2 + 2) - (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$

Упростим первую часть, используя формулу квадрата суммы: $(x^2 + 2)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(2) + 2^2 = x^4 + 4x^2 + 4$.

Упростим вторую часть, последовательно применяя формулу разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$

$(x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x^2)^2 - 4^2 = x^4 - 16$

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(x^4 + 4x^2 + 4) - (x^4 - 16) = x^4 + 4x^2 + 4 - x^4 + 16$

Приведем подобные слагаемые:

$4x^2 + 20$

Ответ: $4x^2 + 20$.

к) $5(a - 2)(a + 2) - \frac{1}{2}(8a - 6)^2 + 17$

Используем формулу разности квадратов для первого слагаемого и квадрата разности для второго.

$5(a^2 - 2^2) = 5(a^2 - 4) = 5a^2 - 20$

$-\frac{1}{2}(8a - 6)^2 = -\frac{1}{2}((8a)^2 - 2(8a)(6) + 6^2) = -\frac{1}{2}(64a^2 - 96a + 36)$

$= -32a^2 + 48a - 18$

Подставим все в исходное выражение:

$(5a^2 - 20) + (-32a^2 + 48a - 18) + 17 = 5a^2 - 20 - 32a^2 + 48a - 18 + 17$

Приведем подобные слагаемые:

$(5a^2 - 32a^2) + 48a + (-20 - 18 + 17) = -27a^2 + 48a - 21$

Ответ: $-27a^2 + 48a - 21$.