Номер 311, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.6. Произведение многочленов. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 311, страница 91.

Условие.

311. Упростите выражение:

а) $(2x - 2a)(3a^2 - 4a + 5);$

б) $(7x^2 - 2x + 4 - x^2)(2x - x - 1);$

в) $(x^2 + 3x - 2)(2x^2 - x + 4);$

г) $(2m^3 - 7m^2 + 4m)(3 - 8m + m^2);$

д) $(2a + 1)(3 + a)(5a + 2);$

е) $(x - 3)(2x - 1)(7 + 2x);$

ж) $(2m - n)(3n + 2m)(m - 5n);$

з) $(p - 8q)(4q - p)(p + 8q).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Для упрощения выражения $(2x - 2a)(3a^2 - 4a + 5)$ необходимо перемножить каждый член первого многочлена на каждый член второго.

$(2x - 2a)(3a^2 - 4a + 5) = 2x(3a^2 - 4a + 5) - 2a(3a^2 - 4a + 5) = 6a^2x - 8ax + 10x - 6a^3 + 8a^2 - 10a$.

Сгруппируем члены по убыванию степеней переменной $a$:

$-6a^3 + 8a^2 + 6a^2x - 8ax - 10a + 10x$.

Ответ: $-6a^3 + 8a^2 + 6a^2x - 8ax - 10a + 10x$.

б)

Сначала упростим выражения в каждой из скобок, приведя подобные слагаемые:

В первой скобке: $7x^2 - 2x + 4 - x^2 = (7x^2 - x^2) - 2x + 4 = 6x^2 - 2x + 4$.

Во второй скобке: $2x - x - 1 = x - 1$.

Теперь перемножим полученные многочлены:

$(6x^2 - 2x + 4)(x - 1) = 6x^2(x - 1) - 2x(x - 1) + 4(x - 1) = 6x^3 - 6x^2 - 2x^2 + 2x + 4x - 4$.

Приведем подобные слагаемые в итоговом выражении:

$6x^3 + (-6x^2 - 2x^2) + (2x + 4x) - 4 = 6x^3 - 8x^2 + 6x - 4$.

Ответ: $6x^3 - 8x^2 + 6x - 4$.

в)

Перемножим многочлен $(x^2 + 3x - 2)$ на многочлен $(2x^2 - x + 4)$, умножая каждый член первого на каждый член второго:

$(x^2 + 3x - 2)(2x^2 - x + 4) = x^2(2x^2 - x + 4) + 3x(2x^2 - x + 4) - 2(2x^2 - x + 4)$.

Раскроем скобки:

$(2x^4 - x^3 + 4x^2) + (6x^3 - 3x^2 + 12x) - (4x^2 - 2x + 8) = 2x^4 - x^3 + 4x^2 + 6x^3 - 3x^2 + 12x - 4x^2 + 2x - 8$.

Приведем подобные слагаемые:

$2x^4 + (-x^3 + 6x^3) + (4x^2 - 3x^2 - 4x^2) + (12x + 2x) - 8 = 2x^4 + 5x^3 - 3x^2 + 14x - 8$.

Ответ: $2x^4 + 5x^3 - 3x^2 + 14x - 8$.

г)

Вынесем общий множитель $m$ из первого многочлена и изменим порядок членов во втором для удобства:

$(2m^3 - 7m^2 + 4m)(3 - 8m + m^2) = m(2m^2 - 7m + 4)(m^2 - 8m + 3)$.

Перемножим два трехчлена:

$(2m^2 - 7m + 4)(m^2 - 8m + 3) = 2m^2(m^2 - 8m + 3) - 7m(m^2 - 8m + 3) + 4(m^2 - 8m + 3)$

$= (2m^4 - 16m^3 + 6m^2) - (7m^3 - 56m^2 + 21m) + (4m^2 - 32m + 12)$.

Приведем подобные слагаемые:

$2m^4 - 16m^3 - 7m^3 + 6m^2 + 56m^2 + 4m^2 - 21m - 32m + 12 = 2m^4 - 23m^3 + 66m^2 - 53m + 12$.

Теперь умножим полученный результат на $m$:

$m(2m^4 - 23m^3 + 66m^2 - 53m + 12) = 2m^5 - 23m^4 + 66m^3 - 53m^2 + 12m$.

Ответ: $2m^5 - 23m^4 + 66m^3 - 53m^2 + 12m$.

д)

Упростим выражение, последовательно перемножая скобки. Сначала умножим первые две скобки, представив $(3+a)$ как $(a+3)$:

$(2a + 1)(a + 3) = 2a^2 + 6a + a + 3 = 2a^2 + 7a + 3$.

Теперь умножим полученный результат на третью скобку $(5a + 2)$:

$(2a^2 + 7a + 3)(5a + 2) = 10a^3 + 4a^2 + 35a^2 + 14a + 15a + 6$.

Приведем подобные слагаемые:

$10a^3 + (4a^2 + 35a^2) + (14a + 15a) + 6 = 10a^3 + 39a^2 + 29a + 6$.

Ответ: $10a^3 + 39a^2 + 29a + 6$.

е)

Упростим выражение, последовательно перемножая скобки. Сначала умножим первые две:

$(x - 3)(2x - 1) = 2x^2 - x - 6x + 3 = 2x^2 - 7x + 3$.

Теперь умножим полученный результат на третью скобку $(7 + 2x)$:

$(2x^2 - 7x + 3)(2x + 7) = 2x^2(2x+7) - 7x(2x+7) + 3(2x+7)$

$= 4x^3 + 14x^2 - 14x^2 - 49x + 6x + 21$.

Приведем подобные слагаемые:

$4x^3 + (14x^2 - 14x^2) + (-49x + 6x) + 21 = 4x^3 - 43x + 21$.

Ответ: $4x^3 - 43x + 21$.

ж)

Упростим выражение, последовательно перемножая скобки. Запишем $(3n+2m)$ как $(2m+3n)$ и умножим на первую скобку:

$(2m - n)(2m + 3n) = 4m^2 + 6mn - 2mn - 3n^2 = 4m^2 + 4mn - 3n^2$.

Теперь умножим полученный результат на $(m - 5n)$:

$(4m^2 + 4mn - 3n^2)(m - 5n) = m(4m^2 + 4mn - 3n^2) - 5n(4m^2 + 4mn - 3n^2)$

$= 4m^3 + 4m^2n - 3mn^2 - 20m^2n - 20mn^2 + 15n^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$4m^3 + (4m^2n - 20m^2n) + (-3mn^2 - 20mn^2) + 15n^3 = 4m^3 - 16m^2n - 23mn^2 + 15n^3$.

Ответ: $4m^3 - 16m^2n - 23mn^2 + 15n^3$.

з)

Перегруппируем множители, чтобы использовать формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(p - 8q)(4q - p)(p + 8q) = (p - 8q)(p + 8q)(4q - p)$.

Применим формулу к первым двум множителям:

$(p - 8q)(p + 8q) = p^2 - (8q)^2 = p^2 - 64q^2$.

Теперь умножим результат на оставшийся множитель $(4q - p)$:

$(p^2 - 64q^2)(4q - p) = p^2(4q - p) - 64q^2(4q - p) = 4p^2q - p^3 - 256q^3 + 64pq^2$.

Упорядочим члены многочлена по степеням переменной $p$:

$-p^3 + 4p^2q + 64pq^2 - 256q^3$.

Ответ: $-p^3 + 4p^2q + 64pq^2 - 256q^3$.