Номер 310, страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.6. Произведение многочленов. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 310, страница 91.

Условие.

310. Разложите на множители:

а) $a(b - 1) - (1 - b)$;

б) $(a + b) + 3a(a + b)$;

в) $2x(a - b) - (b - a)$;

г) $3 + a + a(3 + a)$;

д) $(m - 2n) - x(2n - m)$;

е) $a - b - x(b - a)$;

ж) $(x - 1)^2 + x(x - 1)$;

з) $(x + 2)^2 - (x + 2)(x - 1)$;

и) $(2x - 1)^2 - x(2x - 1)$;

к) $(3x - 1)^2 + (x + 2)(3x - 1)$;

л) $(x - 1)(x + 1) + (x - 3)(x + 1)$;

м) $(x - 2)(x + 2) - (x + 2)(x - 1)$;

н) $(x - 3)(2x + 3) - (3 - x)(x + 1).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) $a(b - 1) - (1 - b)$
Чтобы разложить на множители, заметим, что $(1 - b) = -(b - 1)$. Подставим это в исходное выражение:
$a(b - 1) - (-(b - 1)) = a(b - 1) + (b - 1)$
Теперь мы видим общий множитель $(b - 1)$, который можно вынести за скобки. Представим второе слагаемое как $1 \cdot (b-1)$:
$a(b - 1) + 1 \cdot (b - 1) = (b - 1)(a + 1)$
Ответ: $(a + 1)(b - 1)$

б) $(a + b) + 3a(a + b)$
В этом выражении общий множитель $(a + b)$ очевиден. Представим первое слагаемое как $1 \cdot (a+b)$ и вынесем общий множитель за скобки:
$1 \cdot (a + b) + 3a(a + b) = (a + b)(1 + 3a)$
Ответ: $(a + b)(1 + 3a)$

в) $2x(a - b) - (b - a)$
Заметим, что $(b - a) = -(a - b)$. Подставим это в выражение:
$2x(a - b) - (-(a - b)) = 2x(a - b) + (a - b)$
Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$2x(a - b) + 1 \cdot (a - b) = (a - b)(2x + 1)$
Ответ: $(a - b)(2x + 1)$

г) $3 + a + a(3 + a)$
Сгруппируем первые два слагаемых: $(3 + a) + a(3 + a)$.
Общий множитель $(3 + a)$ можно вынести за скобки:
$1 \cdot (3 + a) + a(3 + a) = (3 + a)(1 + a)$
Ответ: $(a + 1)(a + 3)$

д) $(m - 2n) - x(2n - m)$
Преобразуем выражение в скобках: $(2n - m) = -(m - 2n)$.
$ (m - 2n) - x(-(m - 2n)) = (m - 2n) + x(m - 2n)$
Вынесем общий множитель $(m - 2n)$ за скобки:
$1 \cdot (m - 2n) + x(m - 2n) = (m - 2n)(1 + x)$
Ответ: $(m - 2n)(1 + x)$

е) $a - b - x(b - a)$
Сгруппируем первые два члена: $(a - b)$. Заметим, что $(b - a) = -(a - b)$.
$(a - b) - x(-(a - b)) = (a - b) + x(a - b)$
Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$1 \cdot (a - b) + x(a - b) = (a - b)(1 + x)$
Ответ: $(a - b)(1 + x)$

ж) $(x - 1)^2 + x(x - 1)$
Общим множителем является $(x - 1)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 1)((x - 1) + x)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x - 1)(x - 1 + x) = (x - 1)(2x - 1)$
Ответ: $(x - 1)(2x - 1)$

з) $(x + 2)^2 - (x + 2)(x - 1)$
Общим множителем является $(x + 2)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 2)((x + 2) - (x - 1))$
Раскроем внутренние скобки и упростим:
$(x + 2)(x + 2 - x + 1) = (x + 2)(3)$
Ответ: $3(x + 2)$

и) $(2x - 1)^2 - x(2x - 1)$
Общим множителем является $(2x - 1)$. Вынесем его за скобки:
$(2x - 1)((2x - 1) - x)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(2x - 1)(2x - 1 - x) = (2x - 1)(x - 1)$
Ответ: $(2x - 1)(x - 1)$

к) $(3x - 1)^2 + (x + 2)(3x - 1)$
Общим множителем является $(3x - 1)$. Вынесем его за скобки:
$(3x - 1)((3x - 1) + (x + 2))$
Упростим выражение во второй скобке:
$(3x - 1)(3x - 1 + x + 2) = (3x - 1)(4x + 1)$
Ответ: $(3x - 1)(4x + 1)$

л) $(x - 1)(x + 1) + (x - 3)(x + 1)$
Общим множителем является $(x + 1)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 1)((x - 1) + (x - 3))$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x + 1)(x - 1 + x - 3) = (x + 1)(2x - 4)$
Во второй скобке можно вынести за скобки множитель 2:
$(x + 1) \cdot 2(x - 2) = 2(x + 1)(x - 2)$
Ответ: $2(x + 1)(x - 2)$

м) $(x - 2)(x + 2) - (x + 2)(x - 1)$
Общим множителем является $(x + 2)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 2)((x - 2) - (x - 1))$
Раскроем внутренние скобки и упростим:
$(x + 2)(x - 2 - x + 1) = (x + 2)(-1)$
Ответ: $-(x + 2)$

н) $(x - 3)(2x + 3) - (3 - x)(x + 1)$
Заметим, что $(3 - x) = -(x - 3)$. Подставим это в выражение:
$(x - 3)(2x + 3) - (-(x - 3))(x + 1) = (x - 3)(2x + 3) + (x - 3)(x + 1)$
Общим множителем является $(x - 3)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 3)((2x + 3) + (x + 1))$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x - 3)(2x + 3 + x + 1) = (x - 3)(3x + 4)$
Ответ: $(x - 3)(3x + 4)$