Номер 304, страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.6. Произведение многочленов. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 304, страница 90.

Условие.

304. Доказываем.

Пользуясь рисунком 12, докажите, что для $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$ верно равенство $(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd$.

Рис. 12

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Данное равенство представляет собой формулу умножения двух двучленов. Его можно доказать геометрически, используя предложенный рисунок, который иллюстрирует площадь прямоугольника. Рассмотрим площадь большого прямоугольника двумя способами. Условие $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$ означает, что все отрезки имеют положительную длину, что необходимо для геометрической интерпретации.

1. Площадь большого прямоугольника

На рисунке 12 изображен большой прямоугольник. Его стороны состоят из отрезков. Одна сторона имеет длину, равную сумме отрезков $a$ и $b$, то есть $(a+b)$. Другая сторона имеет длину, равную сумме отрезков $c$ и $d$, то есть $(c+d)$. Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение длин его сторон. Таким образом, площадь большого прямоугольника равна:
$S = (a+b)(c+d)$

2. Сумма площадей четырех малых прямоугольников

Большой прямоугольник разделен на четыре меньших прямоугольника. Его общая площадь также может быть найдена как сумма площадей этих четырех частей.

• Площадь нижнего левого прямоугольника со сторонами $a$ и $c$ равна $S_1 = ac$.
• Площадь верхнего левого прямоугольника со сторонами $b$ и $c$ равна $S_2 = bc$.
• Площадь нижнего правого прямоугольника со сторонами $a$ и $d$ равна $S_3 = ad$.
• Площадь верхнего правого прямоугольника со сторонами $b$ и $d$ равна $S_4 = bd$.

Сложив площади этих четырех прямоугольников, мы получим общую площадь большой фигуры:
$S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = ac + bc + ad + bd$

Заключение

Так как оба способа вычисляют площадь одной и той же фигуры, полученные выражения должны быть равны. Приравнивая их, мы получаем доказываемое равенство:
$(a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd$
Таким образом, мы геометрически доказали справедливость данного равенства для любых положительных чисел $a, b, c, d$.

Ответ: Равенство $(a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd$ доказано путем вычисления площади прямоугольника, изображенного на рисунке, двумя различными способами.