Номер 312, страница 92 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.7. Целые выражения. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 312, страница 92.

Условие.

312. а) Что называют целым выражением? Приведите примеры.

б) Является ли целым выражением: число; одночлен; многочлен?

в) Любое ли целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида?

г) Может ли целое выражение равняться нулевому многочлену? Приведите примеры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Целым выражением называют алгебраическое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения. Также к этим действиям относится возведение в натуральную степень. Важной особенностью целого выражения является то, что оно не содержит операции деления на переменную.
Примеры целых выражений:
- Число: $7$, $-1.5$
- Одночлен: $5xy^2$
- Многочлен: $3a^2 - ab + 4b^2$
- Произведение многочленов: $(x - y)(x + y)$
- Выражение с делением на число (константу): $\frac{a+b}{4}$
Примером выражения, которое не является целым, служит $\frac{x+1}{y}$, так как оно содержит деление на переменную $y$.
Ответ: Целое выражение — это выражение, составленное из чисел и переменных с помощью операций сложения, вычитания и умножения, не содержащее деления на переменную. Примеры: $12$; $x$; $8ab^3$; $c^2 - d^2$; $(m+n)(m-n)$.

б) Да, все перечисленные понятия являются целыми выражениями.
- Число является целым выражением, так как оно не содержит переменных и, следовательно, деления на них.
- Одночлен (например, $3a^2b$) состоит из произведения чисел, переменных и их натуральных степеней, что полностью соответствует определению целого выражения.
- Многочлен (например, $x^2 + 2x + 1$) является суммой одночленов. Так как и одночлены, и операция сложения лежат в основе целых выражений, то и любой многочлен является целым выражением.
Ответ: Да, число, одночлен и многочлен являются целыми выражениями.

в) Да, любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида. Поскольку целое выражение по определению состоит только из операций сложения, вычитания и умножения, всегда можно выполнить все действия (раскрыть скобки, используя распределительный закон умножения) и привести подобные слагаемые. В результате этих тождественных преобразований получится многочлен, который можно записать в стандартном виде.
Например, преобразуем целое выражение $(2x+y)y - 2xy$:
$(2x+y)y - 2xy = 2x \cdot y + y \cdot y - 2xy = 2xy + y^2 - 2xy = y^2$.
Результат $y^2$ — это многочлен стандартного вида.
Ответ: Да, любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида путем тождественных преобразований.

г) Да, целое выражение может равняться нулевому многочлену. Это происходит, когда в результате тождественных преобразований (раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых) все его члены взаимно уничтожаются, и выражение становится равным нулю при любых значениях входящих в него переменных.
Примеры выражений, равных нулевому многочлену:
- $5x - 5x = 0$
- $(a-b)(a+b) - (a^2 - b^2) = (a^2 - b^2) - (a^2 - b^2) = 0$
- $c(d+e) - cd - ce = cd + ce - cd - ce = 0$
Ответ: Да, может. Примеры: $x-x$; $(y+2)(y-2) - y^2 + 4$.