Номер 331, страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5.8. Числовое значение целого выражения. Параграф 5. Многочлены. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 331, страница 97.

Условие.

331. Укажите все значения $a$ и $b$, для которых верно равенство:

а) $a + b = 0$;

б) $a \cdot b = 1$;

в) $a \cdot b = a$;

г) $a \cdot b = -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Равенство $a + b = 0$ верно для чисел, которые в сумме дают ноль. Такие числа называются противоположными. Чтобы найти $b$, выразим его из уравнения:

$b = 0 - a$

$b = -a$

Это означает, что для любого выбранного значения $a$, значение $b$ должно быть ему противоположным. Например, если $a = 5$, то $b = -5$; если $a = -2.3$, то $b = 2.3$; если $a = 0$, то $b = 0$.

Ответ: $a$ и $b$ – любые противоположные числа, то есть $b = -a$.

б)

Равенство $a \cdot b = 1$ верно для чисел, произведение которых равно единице. Такие числа называются взаимно обратными. Чтобы найти $b$, выразим его из уравнения, разделив обе части на $a$:

$b = \frac{1}{a}$

Это равенство имеет смысл только в том случае, если $a \ne 0$, так как деление на ноль невозможно. Следовательно, и $b$ не может быть равно нулю. Таким образом, $a$ и $b$ – это пара любых взаимно обратных чисел. Например, если $a = 2$, то $b = \frac{1}{2}$; если $a = -\frac{3}{4}$, то $b = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $a$ и $b$ – любые взаимно обратные числа ($b = \frac{1}{a}$, где $a \ne 0$).

в)

Рассмотрим равенство $a \cdot b = a$. Перенесем все члены в левую часть:

$a \cdot b - a = 0$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a \cdot (b - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Исходя из этого, рассмотрим два возможных случая:

1. Первый множитель равен нулю: $a = 0$. В этом случае равенство $0 \cdot (b - 1) = 0$ будет верным при любом значении $b$.

2. Второй множитель равен нулю: $b - 1 = 0$, откуда следует, что $b = 1$. В этом случае равенство $a \cdot (1 - 1) = a \cdot 0 = 0$ будет верным при любом значении $a$.

Таким образом, исходное равенство верно в двух независимых случаях.

Ответ: 1) $a=0$, а $b$ – любое число; 2) $b=1$, а $a$ – любое число.

г)

Рассмотрим равенство $a \cdot b = -1$. Чтобы найти $b$, выразим его из уравнения, разделив обе части на $a$:

$b = \frac{-1}{a}$ или $b = -\frac{1}{a}$

Это равенство, как и в пункте б), имеет смысл только если $a \ne 0$. Значит, $a$ может быть любым числом, кроме нуля, а $b$ должно быть числом, обратным к $a$ и взятым с противоположным знаком. Например, если $a = 10$, то $b = -\frac{1}{10}$; если $a = -2$, то $b = \frac{1}{2}$.

Ответ: $a$ – любое число, кроме 0, а $b = -\frac{1}{a}$.