Номер 407, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.6. Разность кубов. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 407, страница 112.

Условие.

407. Запишите выражение в виде многочлена:

а) $(x - y)(x^2 + xy + y^2);$

б) $(5 - a)(a^2 + 5a + 25);$

в) $(2m - 5n)(4m^2 + 10mn + 25n^2);$

г) $(7p + q)(49p^2 - 7pq + q^2);$

д) $(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y)(\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{6}xy + \frac{1}{9}y^2);$

е) $(0,1a - 0,2b)(0,04b^2 + 0,02ab + 0,01a^2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Данное выражение представляет собой произведение разности двух выражений на их неполный квадрат суммы. Это формула сокращенного умножения, известная как "разность кубов": $ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 $. В данном случае $a = x$ и $b = y$. Применив формулу, получаем:
$ (x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3 $
Ответ: $x^3 - y^3$

б) Это выражение также соответствует формуле разности кубов. Для наглядности можно поменять местами слагаемые во второй скобке: $ (5 - a)(25 + 5a + a^2) $. Используем формулу $ (c - d)(c^2 + cd + d^2) = c^3 - d^3 $, где $c = 5$ и $d = a$. Проверим, соответствует ли вторая скобка формуле: $c^2 = 5^2 = 25$, $cd = 5 \cdot a = 5a$, $d^2 = a^2$. Вторая скобка $ (a^2 + 5a + 25) $ является неполным квадратом суммы $5$ и $a$.
Следовательно, $ (5 - a)(a^2 + 5a + 25) = 5^3 - a^3 = 125 - a^3 $.
Ответ: $125 - a^3$

в) Выражение $ (2m - 5n)(4m^2 + 10mn + 25n^2) $ является примером формулы разности кубов $ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 $. Здесь в качестве $a$ выступает $2m$, а в качестве $b$ - $5n$. Проверим компоненты второй скобки:
Квадрат первого члена: $ (2m)^2 = 4m^2 $.
Произведение первого и второго членов: $ (2m)(5n) = 10mn $.
Квадрат второго члена: $ (5n)^2 = 25n^2 $.
Вторая скобка $ (4m^2 + 10mn + 25n^2) $ является неполным квадратом суммы $2m$ и $5n$.
Таким образом, $ (2m - 5n)(4m^2 + 10mn + 25n^2) = (2m)^3 - (5n)^3 = 8m^3 - 125n^3 $.
Ответ: $8m^3 - 125n^3$

г) Данное выражение является произведением суммы двух выражений на их неполный квадрат разности. Это формула "суммы кубов": $ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 $. В этом примере $a = 7p$ и $b = q$. Проверим вторую скобку: $a^2 = (7p)^2 = 49p^2$, $ab = (7p)(q) = 7pq$, $b^2 = q^2$. Вторая скобка $ (49p^2 - 7pq + q^2) $ соответствует формуле.
Следовательно, $ (7p + q)(49p^2 - 7pq + q^2) = (7p)^3 + q^3 = 343p^3 + q^3 $.
Ответ: $343p^3 + q^3$

д) Это выражение также преобразуется по формуле разности кубов: $ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 $. В данном случае $a = \frac{1}{2}x$ и $b = \frac{1}{3}y$.
Проверим вторую скобку:
$a^2 = (\frac{1}{2}x)^2 = \frac{1}{4}x^2$.
$ab = (\frac{1}{2}x)(\frac{1}{3}y) = \frac{1}{6}xy$.
$b^2 = (\frac{1}{3}y)^2 = \frac{1}{9}y^2$.
Вторая скобка $ (\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{6}xy + \frac{1}{9}y^2) $ верна.
Значит, $ (\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y)(\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{6}xy + \frac{1}{9}y^2) = (\frac{1}{2}x)^3 - (\frac{1}{3}y)^3 = \frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{27}y^3 $.
Ответ: $\frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{27}y^3$

е) Переставим слагаемые во второй скобке для соответствия стандартному виду формулы: $ (0,1a - 0,2b)(0,01a^2 + 0,02ab + 0,04b^2) $. Это формула разности кубов $ (c - d)(c^2 + cd + d^2) = c^3 - d^3 $. В нашем выражении $c = 0,1a$ и $d = 0,2b$.
Проверим вторую скобку:
$c^2 = (0,1a)^2 = 0,01a^2$.
$cd = (0,1a)(0,2b) = 0,02ab$.
$d^2 = (0,2b)^2 = 0,04b^2$.
Вторая скобка полностью соответствует формуле.
Таким образом, $ (0,1a - 0,2b)(0,04b^2 + 0,02ab + 0,01a^2) = (0,1a)^3 - (0,2b)^3 = 0,001a^3 - 0,008b^3 $.
Ответ: $0,001a^3 - 0,008b^3$