Номер 420, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.7. Куб суммы. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 420, страница 114.

Условие.

420. Упростите выражение двумя способами:

а) $(x+3)^3-(x+2)^3;$

б) $(x+2)^3-(x+1)^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Упростим выражение $(x + 3)^3 - (x + 2)^3$ двумя способами.

Способ 1: Использование формулы куба суммы

Этот способ заключается в раскрытии каждого куба с помощью формулы куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и последующем приведении подобных слагаемых.

1. Раскроем скобки для $(x+3)^3$:

$(x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

2. Раскроем скобки для $(x+2)^3$:

$(x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

3. Вычтем второе выражение из первого:

$(x^3 + 9x^2 + 27x + 27) - (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 - 6x^2 - 12x - 8$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (9x^2 - 6x^2) + (27x - 12x) + (27 - 8) = 3x^2 + 15x + 19$

Способ 2: Использование формулы разности кубов

Этот способ заключается в применении формулы разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

1. Обозначим $a = x+3$ и $b = x+2$.

2. Найдем первый множитель $(a-b)$:

$a - b = (x+3) - (x+2) = x+3-x-2 = 1$

3. Найдем компоненты второго множителя $(a^2 + ab + b^2)$:

$a^2 = (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$

$ab = (x+3)(x+2) = x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6$

$b^2 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

4. Сложим полученные выражения, чтобы найти второй множитель:

$a^2 + ab + b^2 = (x^2 + 6x + 9) + (x^2 + 5x + 6) + (x^2 + 4x + 4)$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2 + x^2) + (6x + 5x + 4x) + (9 + 6 + 4) = 3x^2 + 15x + 19$

5. Перемножим первый и второй множители:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = 1 \cdot (3x^2 + 15x + 19) = 3x^2 + 15x + 19$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $3x^2 + 15x + 19$

б) Упростим выражение $(x + 2)^3 - (x + 1)^3$ двумя способами.

Способ 1: Использование формулы куба суммы

Раскроем каждый куб по формуле $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

1. Раскроем скобки для $(x+2)^3$:

$(x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

2. Раскроем скобки для $(x+1)^3$:

$(x+1)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

3. Вычтем второе выражение из первого:

$(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - x^3 - 3x^2 - 3x - 1$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (6x^2 - 3x^2) + (12x - 3x) + (8 - 1) = 3x^2 + 9x + 7$

Способ 2: Использование формулы разности кубов

Применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

1. Обозначим $a = x+2$ и $b = x+1$.

2. Найдем первый множитель $(a-b)$:

$a - b = (x+2) - (x+1) = x+2-x-1 = 1$

3. Найдем компоненты второго множителя $(a^2 + ab + b^2)$:

$a^2 = (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

$ab = (x+2)(x+1) = x^2 + x + 2x + 2 = x^2 + 3x + 2$

$b^2 = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

4. Сложим полученные выражения, чтобы найти второй множитель:

$a^2 + ab + b^2 = (x^2 + 4x + 4) + (x^2 + 3x + 2) + (x^2 + 2x + 1)$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2 + x^2) + (4x + 3x + 2x) + (4 + 2 + 1) = 3x^2 + 9x + 7$

5. Перемножим первый и второй множители:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = 1 \cdot (3x^2 + 9x + 7) = 3x^2 + 9x + 7$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $3x^2 + 9x + 7$