Номер 427, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.8. Куб разности. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 427, страница 115.

Условие.

427. Выясните, является ли многочлен кубом какого-либо двучлена:

а) $1 - 3x + 3x^2 - x^3$;

б) $a^3 - 6a^2 + 12a - 8$;

в) $8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Чтобы выяснить, является ли многочлен кубом какого-либо двучлена, необходимо проверить, соответствует ли он одной из формул сокращенного умножения:

• Куб суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• Куб разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

а) $1 - 3x + 3x^2 - x^3$

Данный многочлен состоит из четырех членов, знаки которых чередуются (+, -, +, -), что соответствует формуле куба разности $(a - b)^3$.

Предположим, что $a^3 = 1$ и $b^3 = x^3$. Тогда $a = \sqrt[3]{1} = 1$ и $b = \sqrt[3]{x^3} = x$.

Проверим, соответствуют ли остальные члены многочлена этой формуле, подставив $a=1$ и $b=x$:

• Первый член: $a^3 = 1^3 = 1$. Совпадает.
• Второй член: $-3a^2b = -3 \cdot 1^2 \cdot x = -3x$. Совпадает.
• Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot 1 \cdot x^2 = 3x^2$. Совпадает.
• Четвертый член: $-b^3 = -x^3$. Совпадает.

Так как все члены совпадают, данный многочлен является полным кубом разности двучлена $(1 - x)$.

$1 - 3x + 3x^2 - x^3 = (1 - x)^3$.

Ответ: да, является кубом двучлена $(1 - x)$.

б) $a^3 - 6a^2 + 12a - 8$

Этот многочлен также имеет четыре члена с чередующимися знаками, что указывает на формулу куба разности. Обозначим искомый двучлен как $(A - B)$, чтобы не путать с переменной $a$. Формула: $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.

Предположим, что $A^3 = a^3$ и $B^3 = 8$. Тогда $A = a$ и $B = \sqrt[3]{8} = 2$.

Проверим остальные члены, подставив $A=a$ и $B=2$:

• Первый член: $A^3 = a^3$. Совпадает.
• Второй член: $-3A^2B = -3 \cdot a^2 \cdot 2 = -6a^2$. Совпадает.
• Третий член: $3AB^2 = 3 \cdot a \cdot 2^2 = 3 \cdot a \cdot 4 = 12a$. Совпадает.
• Четвертый член: $-B^3 = -2^3 = -8$. Совпадает.

Все члены многочлена соответствуют разложению куба разности $(a - 2)$.

$a^3 - 6a^2 + 12a - 8 = (a - 2)^3$.

Ответ: да, является кубом двучлена $(a - 2)$.

в) $8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3$

Снова видим четыре члена с чередующимися знаками, что соответствует формуле куба разности $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$.

Предположим, что $A^3 = 8a^3$ и $B^3 = 27b^3$. Тогда $A = \sqrt[3]{8a^3} = 2a$ и $B = \sqrt[3]{27b^3} = 3b$.

Проверим остальные члены, подставив $A=2a$ и $B=3b$:

• Первый член: $A^3 = (2a)^3 = 8a^3$. Совпадает.
• Второй член: $-3A^2B = -3 \cdot (2a)^2 \cdot (3b) = -3 \cdot 4a^2 \cdot 3b = -36a^2b$. Совпадает.
• Третий член: $3AB^2 = 3 \cdot (2a) \cdot (3b)^2 = 3 \cdot 2a \cdot 9b^2 = 54ab^2$. Совпадает.
• Четвертый член: $-B^3 = -(3b)^3 = -27b^3$. Совпадает.

Таким образом, многочлен является кубом разности двучлена $(2a - 3b)$.

$8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3 = (2a - 3b)^3$.

Ответ: да, является кубом двучлена $(2a - 3b)$.