Номер 431, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 431, страница 116.

Условие.

431. Перепишите формулы сокращённого умножения, используя буквы:

а) х и у;

б) m и n.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Формулы сокращённого умножения — это тождества, которые позволяют выполнять умножение многочленов по определённым правилам, что значительно упрощает вычисления. Сначала приведём основные формулы в общем виде, используя переменные a и b.

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
• Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• Куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Теперь перепишем эти формулы, используя буквы, указанные в условии задачи.

а) x и y

Для этого пункта заменим в общих формулах переменную a на x, а переменную b на y. Получим следующие равенства:

1. Квадрат суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

2. Квадрат разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

3. Разность квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$

4. Куб суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

5. Куб разности: $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

6. Сумма кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

7. Разность кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ:
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$;
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$;
$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$;
$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$;
$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$;
$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$;
$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

б) m и n

Аналогично, для этого пункта заменим в общих формулах a на m и b на n. Формулы примут вид:

1. Квадрат суммы: $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$

2. Квадрат разности: $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$

3. Разность квадратов: $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$

4. Куб суммы: $(m+n)^3 = m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3$

5. Куб разности: $(m-n)^3 = m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3$

6. Сумма кубов: $m^3 + n^3 = (m+n)(m^2 - mn + n^2)$

7. Разность кубов: $m^3 - n^3 = (m-n)(m^2 + mn + n^2)$

Ответ:
$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$;
$(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$;
$m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$;
$(m+n)^3 = m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3$;
$(m-n)^3 = m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3$;
$m^3 + n^3 = (m+n)(m^2 - mn + n^2)$;
$m^3 - n^3 = (m-n)(m^2 + mn + n^2)$.