Номер 437, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 437, страница 116.

Условие.

437. а) $(a + 1)(a + 2)(a^2 + 4)(a^2 + 1)(a - 2)(a - 1);$

б) $(a + b + c)(a + b - c) - 2ab;$

в) $(a - b)(a + b)(b^2 + a^2)(a^4 + b^4);$

г) $(a + b)^3 - 3ab(a + b);$

д) $3ab(a - b) + (a - b)^3;$

е) $(a^2 - 2)(a^2 + 2) - (2 - a^2)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) $(a + 1)(a + 2)(a^2 + 4)(a^2 + 1)(a - 2)(a - 1)$

Чтобы упростить это выражение, сгруппируем множители таким образом, чтобы можно было применить формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Сгруппируем $(a - 1)$ с $(a + 1)$ и $(a - 2)$ с $(a + 2)$:

$((a - 1)(a + 1)) \cdot ((a - 2)(a + 2)) \cdot (a^2 + 1)(a^2 + 4)$

Применим формулу разности квадратов к первым двум парам:

$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$

$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

Подставим полученные выражения обратно:

$(a^2 - 1)(a^2 - 4)(a^2 + 1)(a^2 + 4)$

Снова сгруппируем множители для применения той же формулы:

$((a^2 - 1)(a^2 + 1)) \cdot ((a^2 - 4)(a^2 + 4))$

Применим формулу разности квадратов еще раз:

$(a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$

$(a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a^2)^2 - 4^2 = a^4 - 16$

Теперь у нас есть произведение двух двучленов:

$(a^4 - 1)(a^4 - 16)$

Раскроем скобки:

$(a^4 - 1)(a^4 - 16) = a^4 \cdot a^4 - 16 \cdot a^4 - 1 \cdot a^4 + (-1)(-16) = a^8 - 16a^4 - a^4 + 16$

Приведем подобные слагаемые:

$a^8 - 17a^4 + 16$

Ответ: $a^8 - 17a^4 + 16$

б) $(a + b + c)(a + b - c) - 2ab$

Сгруппируем слагаемые в первых двух скобках, чтобы применить формулу разности квадратов. Пусть $(a+b) = x$ и $c = y$. Тогда выражение примет вид $(x+y)(x-y)$.

$((a + b) + c)((a + b) - c) - 2ab$

Применяем формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$(a + b)^2 - c^2 - 2ab$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(a^2 + 2ab + b^2) - c^2 - 2ab$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + b^2 - c^2 + (2ab - 2ab) = a^2 + b^2 - c^2$

Ответ: $a^2 + b^2 - c^2$

в) $(a - b)(a + b)(b^2 + a^2)(a^4 + b^4)$

Это выражение можно последовательно упрощать, используя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Шаг 1: Умножим первые две скобки.

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Выражение принимает вид:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$ (заметим, что $b^2+a^2 = a^2+b^2$)

Шаг 2: Умножим следующие две скобки.

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4$

Выражение принимает вид:

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$

Шаг 3: Умножим оставшиеся скобки.

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8 - b^8$

Ответ: $a^8 - b^8$

г) $(a + b)^3 - 3ab(a + b)$

Используем формулу куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Раскроем первую скобку:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Раскроем второе слагаемое:

$-3ab(a + b) = -3a^2b - 3ab^2$

Теперь сложим результаты:

$(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - 3a^2b - 3ab^2$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + b^3 + (3a^2b - 3a^2b) + (3ab^2 - 3ab^2) = a^3 + b^3$

Ответ: $a^3 + b^3$

д) $3ab(a - b) + (a - b)^3$

Используем формулу куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Раскроем первое слагаемое:

$3ab(a - b) = 3a^2b - 3ab^2$

Раскроем второе слагаемое:

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Теперь сложим результаты:

$(3a^2b - 3ab^2) + (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3)$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 - b^3 + (3a^2b - 3a^2b) + (-3ab^2 + 3ab^2) = a^3 - b^3$

Ответ: $a^3 - b^3$

е) $(a^2 - 2)(a^2 + 2) - (2 - a^2)^2$

Упростим каждую часть выражения по отдельности.

Первая часть - это разность квадратов:

$(a^2 - 2)(a^2 + 2) = (a^2)^2 - 2^2 = a^4 - 4$

Вторая часть - это квадрат разности:

$(2 - a^2)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot a^2 + (a^2)^2 = 4 - 4a^2 + a^4$

Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(a^4 - 4) - (4 - 4a^2 + a^4)$

Раскроем скобки, меняя знаки во второй скобке на противоположные:

$a^4 - 4 - 4 + 4a^2 - a^4$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^4 - a^4) + 4a^2 + (-4 - 4) = 4a^2 - 8$

Ответ: $4a^2 - 8$