Номер 434, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 434, страница 116.

Условие.

Преобразуйте выражение в многочлен (434—439):

434. а) $(x + y + z)(x + y - z);$

б) $(x - y + z)(x - y - z);$

в) $(x - y + z)(x + y + z);$

г) $(x - y - z)(x + y - z);$

д) $(x - y - z)(x + y + z);$

е) $(-x - y - z)(x - y - z).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) $(x + y + z)(x + y - z)$

Для решения сгруппируем слагаемые в каждой скобке так, чтобы можно было применить формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Пусть $a = (x+y)$ и $b = z$. Тогда выражение примет вид:

$((x + y) + z)((x + y) - z) = (x+y)^2 - z^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(x+y)^2 - z^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - z^2 = x^2 + 2xy + y^2 - z^2$

Ответ: $x^2 + 2xy + y^2 - z^2$

б) $(x - y + z)(x - y - z)$

Сгруппируем слагаемые: $((x - y) + z)((x - y) - z)$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (x-y)$ и $b = z$:

$(x-y)^2 - z^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(x-y)^2 - z^2 = (x^2 - 2xy + y^2) - z^2 = x^2 - 2xy + y^2 - z^2$

Ответ: $x^2 - 2xy + y^2 - z^2$

в) $(x - y + z)(x + y + z)$

Сгруппируем слагаемые, поменяв их местами: $((x + z) - y)((x + z) + y)$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (x+z)$ и $b = y$:

$(x+z)^2 - y^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$(x+z)^2 - y^2 = (x^2 + 2xz + z^2) - y^2 = x^2 + 2xz + z^2 - y^2$

Ответ: $x^2 - y^2 + 2xz + z^2$

г) $(x - y - z)(x + y - z)$

Сгруппируем слагаемые: $((x - z) - y)((x - z) + y)$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (x-z)$ и $b = y$:

$(x-z)^2 - y^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$(x-z)^2 - y^2 = (x^2 - 2xz + z^2) - y^2 = x^2 - 2xz + z^2 - y^2$

Ответ: $x^2 - y^2 - 2xz + z^2$

д) $(x - y - z)(x + y + z)$

Сгруппируем слагаемые: $(x - (y + z))(x + (y + z))$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = x$ и $b = (y+z)$:

$x^2 - (y+z)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и учитывая знак минус перед скобкой:

$x^2 - (y^2 + 2yz + z^2) = x^2 - y^2 - 2yz - z^2$

Ответ: $x^2 - y^2 - 2yz - z^2$

е) $(-x - y - z)(x - y - z)$

Сгруппируем слагаемые, выделив общий компонент $(-y-z)$: $ ((-y-z) - x) ((-y-z) + x) $.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (-y-z)$ и $b = x$:

$(-y-z)^2 - x^2$

Раскроем первую скобку. Так как $(-(a+b))^2 = (a+b)^2$, то:

$(-y-z)^2 = (y+z)^2 = y^2 + 2yz + z^2$

Подставим результат в выражение:

$y^2 + 2yz + z^2 - x^2$

Ответ: $-x^2 + y^2 + 2yz + z^2$