Номер 436, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 436, страница 116.

Условие.

436. a) $(1+x)(1-x)(1+x^2)$;

б) $(a-1)(1+a)(a^2+1)$;

в) $(m+n)(n-m)(m^2+n^2)$;

г) $(3-p)(p^2+9)(p+3)$;

д) $(x+2)(4-x^2)(x-2)$;

е) $(p+q)^2(p-q)^2$;

ж) $(a-b)(a-b)(a+b)(a+b)$;

з) $(5+m)(m-5)(m-5)(m+5)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы упростить выражение $(1+x)(1-x)(1+x^2)$, воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Сначала применим ее к первым двум множителям: $(1+x)(1-x) = 1^2 - x^2 = 1 - x^2$.

Теперь выражение выглядит так: $(1-x^2)(1+x^2)$.

Снова применяем формулу разности квадратов: $(1-x^2)(1+x^2) = 1^2 - (x^2)^2 = 1 - x^4$.

Ответ: $1-x^4$.

б) Упростим выражение $(a-1)(1+a)(a^2+1)$. Перегруппируем множители для удобства: $(a-1)(a+1)(a^2+1)$.

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ к первым двум множителям: $(a-1)(a+1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$.

Получаем выражение: $(a^2-1)(a^2+1)$.

Еще раз применяем ту же формулу: $(a^2-1)(a^2+1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$.

Ответ: $a^4-1$.

в) Упростим выражение $(m+n)(n-m)(m^2+n^2)$. Переставим множители и заметим, что $(n-m) = -(m-n)$.

Запишем выражение как $(m+n)(n-m)(n^2+m^2)$.

Применим формулу разности квадратов к первым двум множителям: $(n+m)(n-m) = n^2-m^2$.

Выражение принимает вид: $(n^2-m^2)(n^2+m^2)$.

Снова используем формулу разности квадратов: $(n^2-m^2)(n^2+m^2) = (n^2)^2 - (m^2)^2 = n^4 - m^4$.

Ответ: $n^4-m^4$.

г) Упростим $(3-p)(p^2+9)(p+3)$. Перегруппируем множители: $(3-p)(3+p)(p^2+9)$.

Применяем формулу разности квадратов: $(3-p)(3+p) = 3^2 - p^2 = 9 - p^2$.

Получаем: $(9-p^2)(p^2+9)$, что то же самое, что и $(9-p^2)(9+p^2)$.

Снова применяем формулу разности квадратов: $(9-p^2)(9+p^2) = 9^2 - (p^2)^2 = 81 - p^4$.

Ответ: $81-p^4$.

д) Упростим $(x+2)(4-x^2)(x-2)$. Переставим множители: $(x+2)(x-2)(4-x^2)$.

Применяем формулу разности квадратов: $(x+2)(x-2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

Получаем выражение: $(x^2-4)(4-x^2)$.

Вынесем $-1$ за скобки в первом множителе: $-(4-x^2)(4-x^2) = -(4-x^2)^2$.

Раскроем квадрат по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$: $-(4^2 - 2 \cdot 4 \cdot x^2 + (x^2)^2) = -(16 - 8x^2 + x^4)$.

Раскроем скобки: $-16 + 8x^2 - x^4$.

Ответ: $-x^4+8x^2-16$.

е) Упростим $(p+q)^2(p-q)^2$. Воспользуемся свойством степеней $a^n b^n = (ab)^n$.

Выражение можно записать как $((p+q)(p-q))^2$.

Внутри скобок применим формулу разности квадратов: $(p+q)(p-q) = p^2 - q^2$.

Получаем: $(p^2-q^2)^2$.

Теперь раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$: $(p^2)^2 - 2 \cdot p^2 \cdot q^2 + (q^2)^2 = p^4 - 2p^2q^2 + q^4$.

Ответ: $p^4-2p^2q^2+q^4$.

ж) Упростим $(a-b)(a-b)(a+b)(a+b)$. Это можно записать как $(a-b)^2(a+b)^2$.

Используем свойство степеней $a^n b^n = (ab)^n$: $((a-b)(a+b))^2$.

Применяем формулу разности квадратов внутри скобок: $(a^2-b^2)^2$.

Раскрываем квадрат разности: $(a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$.

Ответ: $a^4-2a^2b^2+b^4$.

з) Упростим $(5+m)(m-5)(m-5)(m+5)$. Сгруппируем множители: $((5+m)(m+5))((m-5)(m-5)) = (m+5)^2(m-5)^2$.

Применим свойство степеней: $((m+5)(m-5))^2$.

Используем формулу разности квадратов внутри скобок: $(m^2-5^2)^2 = (m^2-25)^2$.

Раскроем квадрат разности: $(m^2)^2 - 2 \cdot m^2 \cdot 25 + 25^2 = m^4 - 50m^2 + 625$.

Ответ: $m^4-50m^2+625$.