Номер 442, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 442, страница 117.

Условие.

442. a) $(m^2 + 1)(n^2 + 1) = (mn - 1)^2 + (n + m)^2;$
б) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Чтобы доказать тождество $(m^2 + 1)(n^2 + 1) = (mn - 1)^2 + (n + m)^2$, необходимо показать, что его левая и правая части равны при любых значениях $m$ и $n$. Для этого преобразуем обе части уравнения.

1. Раскроем скобки в левой части (ЛЧ):
$(m^2 + 1)(n^2 + 1) = m^2 \cdot n^2 + m^2 \cdot 1 + 1 \cdot n^2 + 1 \cdot 1 = m^2n^2 + m^2 + n^2 + 1$.

2. Раскроем скобки в правой части (ПЧ), используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(mn - 1)^2 + (n + m)^2 = ((mn)^2 - 2 \cdot mn \cdot 1 + 1^2) + (n^2 + 2nm + m^2)$
$= (m^2n^2 - 2mn + 1) + (n^2 + 2mn + m^2)$.

3. Упростим полученное выражение для правой части, приведя подобные слагаемые. Члены $-2mn$ и $+2mn$ взаимно уничтожаются.
$m^2n^2 - 2mn + 1 + n^2 + 2mn + m^2 = m^2n^2 + m^2 + n^2 + 1$.

4. Сравним результаты преобразований:
ЛЧ: $m^2n^2 + m^2 + n^2 + 1$
ПЧ: $m^2n^2 + m^2 + n^2 + 1$
Левая и правая части тождественно равны.

Ответ: Тождество $(m^2 + 1)(n^2 + 1) = (mn - 1)^2 + (n + m)^2$ доказано.

б)

Чтобы доказать тождество $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$ (тождество Брахмагупты-Фибоначчи), выполним преобразования левой и правой частей.

1. Раскроем скобки в левой части (ЛЧ):
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.

2. Раскроем скобки в правой части (ПЧ), используя те же формулы квадрата разности и квадрата суммы:
$(ac - bd)^2 + (bc + ad)^2 = ((ac)^2 - 2(ac)(bd) + (bd)^2) + ((bc)^2 + 2(bc)(ad) + (ad)^2)$
$= (a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2) + (b^2c^2 + 2abcd + a^2d^2)$.

3. Упростим выражение для правой части. Члены $-2abcd$ и $+2abcd$ взаимно уничтожаются.
$a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2 + b^2c^2 + 2abcd + a^2d^2 = a^2c^2 + b^2d^2 + b^2c^2 + a^2d^2$.

4. Сравним результаты. Перегруппируем слагаемые в правой части для наглядности:
ЛЧ: $a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$
ПЧ: $a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$
Левая и правая части тождественно равны.

Ответ: Тождество $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$ доказано.