Номер 441, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 441, страница 117.

Условие.

441. а) $(1 + x^6)(1 - x^3)(x^3 + 1) = 1 - x^{12};$

б) $(m - n)(m^2 + n^2)(n + m) = m^4 - n^4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для доказательства данного тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой. Мы будем использовать формулу сокращенного умножения — разность квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Рассмотрим левую часть равенства: $(1 + x^6)(1 - x^3)(x^3 + 1)$.

С помощью переместительного свойства умножения сгруппируем множители следующим образом:

$(1 + x^6) \cdot [(1 - x^3)(x^3 + 1)]$

Применим формулу разности квадратов к выражению в квадратных скобках, где $a=1$ и $b=x^3$:

$(1 - x^3)(1 + x^3) = 1^2 - (x^3)^2 = 1 - x^{3 \cdot 2} = 1 - x^6$.

Теперь подставим полученный результат обратно в наше выражение:

$(1 + x^6)(1 - x^6)$

Снова видим формулу разности квадратов, но теперь $a=1$ и $b=x^6$:

$(1 + x^6)(1 - x^6) = 1^2 - (x^6)^2 = 1 - x^{6 \cdot 2} = 1 - x^{12}$.

Результат преобразования левой части $(1 - x^{12})$ совпадает с правой частью тождества. Следовательно, тождество верно.

Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя те же методы, что и в предыдущем пункте.

Рассмотрим левую часть равенства: $(m - n)(m^2 + n^2)(n + m)$.

Используя переместительное свойство умножения, сгруппируем первый и третий множители. Учтем, что $(n+m) = (m+n)$:

$[(m - n)(m + n)](m^2 + n^2)$

Применим формулу разности квадратов к выражению в квадратных скобках, где $a=m$ и $b=n$:

$(m - n)(m + n) = m^2 - n^2$.

Подставим полученный результат обратно в наше выражение:

$(m^2 - n^2)(m^2 + n^2)$

Снова применяем формулу разности квадратов, где на этот раз $a=m^2$ и $b=n^2$:

$(m^2 - n^2)(m^2 + n^2) = (m^2)^2 - (n^2)^2 = m^{2 \cdot 2} - n^{2 \cdot 2} = m^4 - n^4$.

Результат преобразования левой части $(m^4 - n^4)$ совпадает с правой частью тождества. Следовательно, тождество верно.

Ответ: тождество доказано.