Номер 438, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.9. Применение формул сокращённого умножения. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 438, страница 116.

Условие.

438. а) $(5-a)(3-a)-(a-4)^2$;

Б) $(x+3)^2+3(x-2)^2$;

В) $3(2-m)^2+2(2-m)^2$;

Г) $5(2p-3)^2+2(5-2p)^2$;

Д) $4(3-5a)^2-5(a-3)(2a-3)$;

е) $(a+1)^2+2(a+1)-3(a-1)(a+1)$;

Ж) $3-2(5-x)(x-5)-2(5+x)^2$;

З) $(x-y-z)(x-y-z)-(x-y)^2$;

И) $(x+y+z)(x-y-z)-(x+y-z)(x-y+z)$;

К) $(x+y-z)(x-y+z)-(x+y+z)(x-y-z)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, и выполним умножение многочленов. $(5 - a)(3 - a) - (a - 4)^2 = (5 \cdot 3 - 5 \cdot a - a \cdot 3 + a \cdot a) - (a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2) = (15 - 5a - 3a + a^2) - (a^2 - 8a + 16) = (a^2 - 8a + 15) - (a^2 - 8a + 16) = a^2 - 8a + 15 - a^2 + 8a - 16 = -1$. Ответ: $-1$.

б) Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. $(x + 3)^2 + 3(x - 2)^2 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + 3(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) = (x^2 + 6x + 9) + 3(x^2 - 4x + 4) = x^2 + 6x + 9 + 3x^2 - 12x + 12 = (x^2 + 3x^2) + (6x - 12x) + (9 + 12) = 4x^2 - 6x + 21$. Ответ: $4x^2 - 6x + 21$.

в) Выражения в скобках одинаковы, поэтому можно сложить коэффициенты перед ними, а затем раскрыть скобки. $3(2 - m)^2 + 2(2 - m)^2 = (3 + 2)(2 - m)^2 = 5(2 - m)^2 = 5(2^2 - 2 \cdot 2 \cdot m + m^2) = 5(4 - 4m + m^2) = 20 - 20m + 5m^2$. Ответ: $5m^2 - 20m + 20$.

г) Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности, и приведем подобные слагаемые. $5(2p - 3)^2 + 2(5 - 2p)^2 = 5((2p)^2 - 2 \cdot 2p \cdot 3 + 3^2) + 2(5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2p + (2p)^2) = 5(4p^2 - 12p + 9) + 2(25 - 20p + 4p^2) = 20p^2 - 60p + 45 + 50 - 40p + 8p^2 = (20p^2 + 8p^2) + (-60p - 40p) + (45 + 50) = 28p^2 - 100p + 95$. Ответ: $28p^2 - 100p + 95$.

д) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. $4(3 - 5a)^2 - 5(a - 3)(2a - 3) = 4(3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5a + (5a)^2) - 5(a \cdot 2a - 3a - 3 \cdot 2a + 9) = 4(9 - 30a + 25a^2) - 5(2a^2 - 9a + 9) = 36 - 120a + 100a^2 - 10a^2 + 45a - 45 = (100a^2 - 10a^2) + (-120a + 45a) + (36 - 45) = 90a^2 - 75a - 9$. Ответ: $90a^2 - 75a - 9$.

е) Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. $(a + 1)^2 + 2(a + 1) - 3(a - 1)(a + 1) = (a^2 + 2a + 1) + (2a + 2) - 3(a^2 - 1^2) = a^2 + 2a + 1 + 2a + 2 - 3(a^2 - 1) = a^2 + 4a + 3 - 3a^2 + 3 = (a^2 - 3a^2) + 4a + (3 + 3) = -2a^2 + 4a + 6$. Ответ: $-2a^2 + 4a + 6$.

ж) Упростим выражение. Заметим, что $(5-x)(x-5) = -(x-5)(x-5) = -(x-5)^2$. $3 - 2(5 - x)(x - 5) - 2(5 + x)^2 = 3 - 2(-(x - 5)^2) - 2(x + 5)^2 = 3 + 2(x - 5)^2 - 2(x + 5)^2 = 3 + 2(x^2 - 10x + 25) - 2(x^2 + 10x + 25) = 3 + 2x^2 - 20x + 50 - 2x^2 - 20x - 50 = (2x^2 - 2x^2) + (-20x - 20x) + (3 + 50 - 50) = -40x + 3$. Ответ: $3 - 40x$.

з) Представим выражение в виде квадрата и упростим. $(x - y - z)(x - y - z) - (x - y)^2 = (x - y - z)^2 - (x - y)^2$. Сгруппируем слагаемые: $((x - y) - z)^2 - (x - y)^2$. Пусть $A = x - y$, тогда выражение примет вид $(A - z)^2 - A^2$. Раскроем скобки: $(A^2 - 2Az + z^2) - A^2 = -2Az + z^2$. Подставим обратно $A = x - y$: $-2(x - y)z + z^2 = -2xz + 2yz + z^2$. Ответ: $z^2 + 2yz - 2xz$.

и) Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. $(x + y + z)(x - y - z) - (x + y - z)(x - y + z) = (x + (y + z))(x - (y + z)) - (x + (y - z))(x - (y - z)) = (x^2 - (y + z)^2) - (x^2 - (y - z)^2) = x^2 - (y^2 + 2yz + z^2) - (x^2 - (y^2 - 2yz + z^2)) = x^2 - y^2 - 2yz - z^2 - x^2 + y^2 - 2yz + z^2 = (-2yz - 2yz) = -4yz$. Ответ: $-4yz$.

к) Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов. Это выражение противоположно по знаку выражению из пункта и). $(x + y - z)(x - y + z) - (x + y + z)(x - y - z) = (x + (y - z))(x - (y - z)) - (x + (y + z))(x - (y + z)) = (x^2 - (y - z)^2) - (x^2 - (y + z)^2) = x^2 - (y^2 - 2yz + z^2) - (x^2 - (y^2 + 2yz + z^2)) = x^2 - y^2 + 2yz - z^2 - x^2 + y^2 + 2yz + z^2 = (2yz + 2yz) = 4yz$. Ответ: $4yz$.