Номер 426, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.8. Куб разности. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 426, страница 115.

Условие.

426. Запишите выражение в виде степени двучлена:

а) $a^2 - 2ab + b^2;$
б) $a^2 + 4a + 4;$
в) $a^2 + 6a + 9;$
г) $a^2 - 10a + 25;$
д) $a^3 + 3a^2 + 3a + 1;$
е) $a^3 - 3a^2 + 3a - 1;$
ж) $a^3 + 6a^2 + 12a + 8;$
з) $a^3 - 6a^2 + 12a - 8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Данное выражение $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x = a$ и $y = b$. Следовательно, $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Ответ: $(a - b)^2$.

б) Данное выражение $a^2 + 4a + 4$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Представим выражение в виде $a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2$. Здесь $x = a$ и $y = 2$. Следовательно, $a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2$.
Ответ: $(a + 2)^2$.

в) Данное выражение $a^2 + 6a + 9$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Представим выражение в виде $a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2$. Здесь $x = a$ и $y = 3$. Следовательно, $a^2 + 6a + 9 = (a + 3)^2$.
Ответ: $(a + 3)^2$.

г) Данное выражение $a^2 - 10a + 25$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Представим выражение в виде $a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2$. Здесь $x = a$ и $y = 5$. Следовательно, $a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2$.
Ответ: $(a - 5)^2$.

д) Данное выражение $a^3 + 3a^2 + 3a + 1$ соответствует формуле куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. Представим выражение в виде $a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 + 1^3$. Здесь $x = a$ и $y = 1$. Следовательно, $a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = (a + 1)^3$.
Ответ: $(a + 1)^3$.

е) Данное выражение $a^3 - 3a^2 + 3a - 1$ соответствует формуле куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. Представим выражение в виде $a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 - 1^3$. Здесь $x = a$ и $y = 1$. Следовательно, $a^3 - 3a^2 + 3a - 1 = (a - 1)^3$.
Ответ: $(a - 1)^3$.

ж) Данное выражение $a^3 + 6a^2 + 12a + 8$ соответствует формуле куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. В данном выражении $a^3$ это куб $a$, а $8$ это куб $2$. Проверим, соответствуют ли остальные члены формуле при $x = a$ и $y = 2$. $3x^2y = 3 \cdot a^2 \cdot 2 = 6a^2$. $3xy^2 = 3 \cdot a \cdot 2^2 = 3 \cdot a \cdot 4 = 12a$. Все члены совпадают: $a^3 + 6a^2 + 12a + 8 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 + 2^3$. Следовательно, $a^3 + 6a^2 + 12a + 8 = (a + 2)^3$.
Ответ: $(a + 2)^3$.

з) Данное выражение $a^3 - 6a^2 + 12a - 8$ соответствует формуле куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. В данном выражении $a^3$ это куб $a$, а $8$ это куб $2$. Проверим, соответствуют ли остальные члены формуле при $x = a$ и $y = 2$. $-3x^2y = -3 \cdot a^2 \cdot 2 = -6a^2$. $+3xy^2 = +3 \cdot a \cdot 2^2 = 3 \cdot a \cdot 4 = 12a$. Все члены совпадают: $a^3 - 6a^2 + 12a - 8 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 - 2^3$. Следовательно, $a^3 - 6a^2 + 12a - 8 = (a - 2)^3$.
Ответ: $(a - 2)^3$.