Номер 462, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 462, страница 122.

Условие.

Разложите на множители (462–465):

462. а) $(x + y) + (x + y)^2 + (x + y)^3;$

б) $(3a - 9b) - (a - 3b)^2 + (12b - 4a);$

в) $(-2m - 8n) - (am + 4an) + (5bm + 20bn);$

г) $(4x - y)^2 - (y - 4x) - (20x - 5y).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) В выражении $(x + y) + (x + y)^2 + (x + y)^3$ все три слагаемых имеют общий множитель $(x+y)$. Вынесем его за скобки.

$(x+y) \cdot 1 + (x+y) \cdot (x+y) + (x+y) \cdot (x+y)^2 = (x+y)(1 + (x+y) + (x+y)^2)$

Ответ: $(x+y)(1 + (x+y) + (x+y)^2)$

б) В выражении $(3a - 9b) - (a - 3b)^2 + (12b - 4a)$ преобразуем каждое слагаемое, чтобы найти общий множитель.

Первое слагаемое: $3a - 9b = 3(a - 3b)$.

Третье слагаемое: $12b - 4a = -4a + 12b = -4(a - 3b)$.

Теперь выражение можно записать так: $3(a - 3b) - (a - 3b)^2 - 4(a - 3b)$.

Сгруппируем первое и третье слагаемые: $(3(a - 3b) - 4(a - 3b)) - (a-3b)^2 = -(a-3b) - (a-3b)^2$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $-(a-3b)$:

$-(a-3b)(1+(a-3b)) = -(a-3b)(1+a-3b)$.

Ответ: $-(a-3b)(1+a-3b)$

в) В выражении $(-2m - 8n) - (am + 4an) + (5bm + 20bn)$ вынесем общие множители из каждой группы слагаемых.

$-2(m + 4n) - a(m + 4n) + 5b(m + 4n)$

Теперь видно, что общий множитель для всех слагаемых — это $(m+4n)$. Вынесем его за скобки.

$(m + 4n)(-2 - a + 5b)$

Для более аккуратной записи переставим слагаемые во второй скобке:

$(m + 4n)(5b - a - 2)$

Ответ: $(m + 4n)(5b - a - 2)$

г) В выражении $(4x - y)^2 - (y - 4x) - (20x - 5y)$ также преобразуем слагаемые для нахождения общего множителя.

Обратим внимание, что $y - 4x = -(4x - y)$, поэтому $-(y - 4x) = -(-(4x-y)) = 4x-y$.

Также, $20x - 5y = 5(4x - y)$.

Подставим эти преобразования в исходное выражение:

$(4x - y)^2 + (4x - y) - 5(4x - y)$

Общий множитель $(4x-y)$ выносим за скобки:

$(4x - y)((4x - y) + 1 - 5)$

Упростим выражение во второй скобке: $(4x - y) + 1 - 5 = 4x - y - 4$.

Получаем итоговый результат:

$(4x - y)(4x - y - 4)$

Ответ: $(4x - y)(4x - y - 4)$