Номер 463, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 463, страница 122.

Условие.

463. a) $9a^2 - 4;$

б) $25x^2 - 1;$

в) $\frac{1}{4}m^2 - 16n^2;$

г) $100a^2 - 0.25b^2;$

д) $x^{12} - y^2;$

е) $m^6 - n^6;$

ж) $2\frac{1}{4} - c^4;$

з) $1\frac{9}{16}a^{10} - 0.01b^2;$

и) $x^4 - y^4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для разложения выражения $9a^2 - 4$ на множители используется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $9a^2 = (3a)^2$ и $4 = 2^2$.
Таким образом, $9a^2 - 4 = (3a)^2 - 2^2$.
Применяя формулу, получаем: $(3a - 2)(3a + 2)$.
Ответ: $(3a - 2)(3a + 2)$.

б) Для разложения выражения $25x^2 - 1$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим члены выражения в виде квадратов: $25x^2 = (5x)^2$ и $1 = 1^2$.
Следовательно, $25x^2 - 1 = (5x)^2 - 1^2$.
Применяем формулу и получаем: $(5x - 1)(5x + 1)$.
Ответ: $(5x - 1)(5x + 1)$.

в) Выражение $\frac{1}{4}m^2 - 16n^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждый член в виде квадрата: $\frac{1}{4}m^2 = (\frac{1}{2}m)^2$ и $16n^2 = (4n)^2$.
Тогда выражение можно записать как $(\frac{1}{2}m)^2 - (4n)^2$.
Разложим на множители: $(\frac{1}{2}m - 4n)(\frac{1}{2}m + 4n)$.
Ответ: $(\frac{1}{2}m - 4n)(\frac{1}{2}m + 4n)$.

г) Для разложения выражения $100a^2 - 0,25b^2$ на множители используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим члены выражения как квадраты: $100a^2 = (10a)^2$ и $0,25b^2 = (0,5b)^2$.
Выражение принимает вид $(10a)^2 - (0,5b)^2$.
Применив формулу, получаем: $(10a - 0,5b)(10a + 0,5b)$.
Ответ: $(10a - 0,5b)(10a + 0,5b)$.

д) Выражение $x^{12} - y^2$ раскладывается по формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим $x^{12}$ как квадрат: $x^{12} = (x^6)^2$. Член $y^2$ уже является квадратом $y$.
Получаем: $(x^6)^2 - y^2$.
Разложение на множители: $(x^6 - y)(x^6 + y)$.
Ответ: $(x^6 - y)(x^6 + y)$.

е) Выражение $m^6 - n^6$ можно разложить, применив формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим $m^6 = (m^3)^2$ и $n^6 = (n^3)^2$.
Получаем: $m^6 - n^6 = (m^3)^2 - (n^3)^2 = (m^3 - n^3)(m^3 + n^3)$.
Теперь к каждому из множителей можно применить формулы разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ и суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.
$m^3 - n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)$
$m^3 + n^3 = (m+n)(m^2-mn+n^2)$
Окончательное разложение: $(m-n)(m+n)(m^2+mn+n^2)(m^2-mn+n^2)$.
Ответ: $(m-n)(m+n)(m^2+mn+n^2)(m^2-mn+n^2)$.

ж) Для разложения выражения $2\frac{1}{4} - c^4$ на множители сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{9}{4} - c^4$. Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим члены выражения в виде квадратов: $\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2$ и $c^4 = (c^2)^2$.
Получаем: $(\frac{3}{2})^2 - (c^2)^2$.
Разложим на множители: $(\frac{3}{2} - c^2)(\frac{3}{2} + c^2)$.
Ответ: $(\frac{3}{2} - c^2)(\frac{3}{2} + c^2)$.

з) Сначала преобразуем коэффициенты в выражении $1\frac{9}{16}a^{10} - 0,01b^2$.
Смешанное число $1\frac{9}{16}$ равно неправильной дроби $\frac{25}{16}$.
Выражение принимает вид $\frac{25}{16}a^{10} - 0,01b^2$.
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим члены в виде квадратов: $\frac{25}{16}a^{10} = (\frac{5}{4}a^5)^2$ и $0,01b^2 = (0,1b)^2$.
Получаем: $(\frac{5}{4}a^5)^2 - (0,1b)^2$.
Разложим на множители: $(\frac{5}{4}a^5 - 0,1b)(\frac{5}{4}a^5 + 0,1b)$.
Ответ: $(\frac{5}{4}a^5 - 0,1b)(\frac{5}{4}a^5 + 0,1b)$.

и) Выражение $x^4 - y^4$ является разностью квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим члены в виде квадратов: $x^4 = (x^2)^2$ и $y^4 = (y^2)^2$.
$x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.
Заметим, что первый множитель $(x^2 - y^2)$ также является разностью квадратов и может быть разложен дальше: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Множитель $(x^2 + y^2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Окончательное разложение: $(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$.
Ответ: $(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$.