Номер 470, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 470, страница 123.

Условие.

Представьте целое выражение в виде произведения многочленов (470—471):

470. а) $2a + 2b + ax + bx;$

б) $ax - ay + 3x - 3y;$

в) $m^2 - mn + am - an;$

г) $5a + 5b - ax - bx;$

д) $ax - ya + x - y;$

е) $m^2 - mn - 2n + 2m;$

ж) $a^3 + 5a^2 + 5a + 25;$

з) $x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 9x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для выражения $2a + 2b + ax + bx$ применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два: $(2a + 2b) + (ax + bx)$. Вынесем общий множитель из каждой группы: $2(a + b) + x(a + b)$. Теперь мы видим общий множитель $(a + b)$, который тоже можно вынести за скобки: $(a + b)(2 + x)$.
Ответ: $(a + b)(2 + x)$

б) В выражении $ax - ay + 3x - 3y$ сгруппируем слагаемые: $(ax - ay) + (3x - 3y)$. Вынесем общий множитель из каждой группы: $a(x - y) + 3(x - y)$. Общий множитель $(x - y)$ выносим за скобки: $(x - y)(a + 3)$.
Ответ: $(x - y)(a + 3)$

в) Для выражения $m^2 - mn + am - an$ сгруппируем слагаемые: $(m^2 - mn) + (am - an)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $m(m - n) + a(m - n)$. Вынесем общий множитель $(m - n)$: $(m - n)(m + a)$.
Ответ: $(m - n)(m + a)$

г) В выражении $5a + 5b - ax - bx$ сгруппируем слагаемые: $(5a + 5b) + (-ax - bx)$. Вынесем общие множители: $5(a + b) - x(a + b)$. Вынесем за скобки общий множитель $(a + b)$: $(a + b)(5 - x)$.
Ответ: $(a + b)(5 - x)$

д) В выражении $ax - ya + x - y$ для удобства изменим порядок слагаемых: $ax + x - ya - y$. Сгруппируем их: $(ax + x) + (-ya - y)$. Вынесем общие множители: $x(a + 1) - y(a + 1)$. Общий множитель $(a + 1)$ вынесем за скобки: $(a + 1)(x - y)$.
Ответ: $(a + 1)(x - y)$

е) В выражении $m^2 - mn - 2n + 2m$ изменим порядок слагаемых для удобства группировки: $m^2 + 2m - mn - 2n$. Сгруппируем их: $(m^2 + 2m) + (-mn - 2n)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $m(m + 2) - n(m + 2)$. Вынесем общий множитель $(m + 2)$: $(m + 2)(m - n)$.
Ответ: $(m + 2)(m - n)$

ж) Для выражения $a^3 + 5a^2 + 5a + 25$ сгруппируем слагаемые: $(a^3 + 5a^2) + (5a + 25)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $a^2(a + 5) + 5(a + 5)$. Вынесем общий множитель $(a + 5)$: $(a + 5)(a^2 + 5)$.
Ответ: $(a + 5)(a^2 + 5)$

з) В выражении $x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 9x$ сначала вынесем общий для всех слагаемых множитель $x$: $x(x^3 - 3x^2 + 3x - 9)$. Теперь разложим на множители выражение в скобках, используя метод группировки: $(x^3 - 3x^2) + (3x - 9)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2(x - 3) + 3(x - 3)$. Общий множитель $(x - 3)$ выносим за скобки: $(x - 3)(x^2 + 3)$. Возвращая множитель $x$, получаем итоговое произведение: $x(x - 3)(x^2 + 3)$.
Ответ: $x(x - 3)(x^2 + 3)$