Номер 475, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 475, страница 123.

Условие.

475. Разложите на множители многочлен:

a) $ab + cb + ad + cd;$

б) $a^2 - 2ab + b^2 - c^2;$

В) $a^4 - 16b^4;$

Г) $a^2 + 2ab + ac + b^2 + bc;$

Д) $9y^2 - 6y + 1 - x^2;$

е) $x^4 + 4x^2 - y^2 + 6y - 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) $ab + cb + ad + cd$
Для разложения на множители сгруппируем слагаемые: $(ab + cb) + (ad + cd)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $b$, а во второй — общий множитель $d$: $b(a + c) + d(a + c)$.
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a + c)$: $(a + c)(b + d)$.
Ответ: $(a + c)(b + d)$

б) $a^2 - 2ab + b^2 - c^2$
Сгруппируем первые три слагаемых. Они представляют собой формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$(a^2 - 2ab + b^2) - c^2 = (a - b)^2 - c^2$.
Получившееся выражение является разностью квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Применим эту формулу:
$(a - b)^2 - c^2 = ((a - b) - c)((a - b) + c)$.
Раскроем внутренние скобки и получим окончательный результат: $(a - b - c)(a - b + c)$.
Ответ: $(a - b - c)(a - b + c)$

в) $a^4 - 16b^4$
Данное выражение является разностью квадратов, так как $a^4 = (a^2)^2$ и $16b^4 = (4b^2)^2$.
Получаем: $(a^2)^2 - (4b^2)^2$.
Применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $(a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2)$.
Обратим внимание, что первый множитель $(a^2 - 4b^2)$ также является разностью квадратов: $a^2 - (2b)^2$.
Разложим его: $(a - 2b)(a + 2b)$.
Таким образом, окончательное разложение имеет вид: $(a - 2b)(a + 2b)(a^2 + 4b^2)$.
Ответ: $(a - 2b)(a + 2b)(a^2 + 4b^2)$

г) $a^2 + 2ab + ac + b^2 + bc$
Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить известные формулы: $(a^2 + 2ab + b^2) + (ac + bc)$.
Первая группа слагаемых представляет собой квадрат суммы: $(a + b)^2$.
Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $c$: $c(a + b)$.
Выражение принимает вид: $(a + b)^2 + c(a + b)$.
Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки: $(a + b)((a + b) + c)$.
Упростим выражение в правых скобках: $(a + b)(a + b + c)$.
Ответ: $(a + b)(a + b + c)$

д) $9y^2 - 6y + 1 - x^2$
Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют формулу квадрата разности: $(9y^2 - 6y + 1) - x^2$.
Так как $9y^2 - 6y + 1 = (3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 1 + 1^2 = (3y - 1)^2$.
Выражение принимает вид разности квадратов: $(3y - 1)^2 - x^2$.
Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$: $((3y - 1) - x)((3y - 1) + x)$.
Раскроем внутренние скобки: $(3y - 1 - x)(3y - 1 + x)$.
Ответ: $(3y - x - 1)(3y + x - 1)$

е) $x^4 + 4x^2 - y^2 + 6y - 5$
Для разложения этого многочлена применим метод выделения полного квадрата.
Представим свободный член $-5$ в виде суммы $+4 - 9$: $x^4 + 4x^2 + 4 - 9 - y^2 + 6y$.
Теперь сгруппируем слагаемые: $(x^4 + 4x^2 + 4) - (y^2 - 6y + 9)$.
Первая скобка представляет собой полный квадрат: $x^4 + 4x^2 + 4 = (x^2 + 2)^2$.
Вторая скобка также является полным квадратом: $y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2$.
Получаем выражение в виде разности квадратов: $(x^2 + 2)^2 - (y - 3)^2$.
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$: $((x^2 + 2) - (y - 3))((x^2 + 2) + (y - 3))$.
Раскроем внутренние скобки и упростим: $(x^2 + 2 - y + 3)(x^2 + 2 + y - 3) = (x^2 - y + 5)(x^2 + y - 1)$.
Ответ: $(x^2 - y + 5)(x^2 + y - 1)$