Номер 474, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 474, страница 123.

Условие.

474. Верно ли выполнено разложение многочлена на множители:

а) $a^3 - 8 + 6a^2 - 12a = (a^2 + 8a + 4)(a - 2);

б) $x^2 + 2xy + y^2 - xc - yc = (x + y - c)(x + y)?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы проверить, верно ли выполнено разложение $a^3 - 8 + 6a^2 - 12a = (a^2 + 8a + 4)(a - 2)$, преобразуем левую часть равенства, разложив ее на множители.
Сгруппируем слагаемые:
$a^3 - 8 + 6a^2 - 12a = (a^3 - 8) + (6a^2 - 12a)$
Первую группу $(a^3 - 8)$ разложим по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:
$a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$
Во второй группе $(6a^2 - 12a)$ вынесем за скобки общий множитель $6a$:
$6a^2 - 12a = 6a(a - 2)$
Теперь подставим полученные выражения обратно:
$(a - 2)(a^2 + 2a + 4) + 6a(a - 2)$
Вынесем общий множитель $(a - 2)$ за скобки:
$(a - 2)((a^2 + 2a + 4) + 6a)$
Приведем подобные слагаемые во второй скобке:
$(a - 2)(a^2 + 8a + 4)$
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, разложение выполнено верно.
Ответ: верно.

б) Чтобы проверить, верно ли выполнено разложение $x^2 + 2xy + y^2 - xc - yc = (x + y - c)(x + y)$, преобразуем левую часть равенства.
Сгруппируем слагаемые:
$x^2 + 2xy + y^2 - xc - yc = (x^2 + 2xy + y^2) - (xc + yc)$
Первая группа $(x^2 + 2xy + y^2)$ является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$
Во второй группе $-(xc + yc)$ вынесем за скобки общий множитель $-c$:
$-(xc + yc) = -c(x + y)$
Подставим полученные выражения обратно:
$(x + y)^2 - c(x + y)$
Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобки:
$(x + y)((x + y) - c) = (x + y)(x + y - c)$
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства (с точностью до перестановки множителей). Следовательно, разложение выполнено верно.
Ответ: верно.