Номер 473, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 473, страница 123.

Условие.

473. Разложите многочлен на множители, предварительно выделив полный квадрат:

а) $a^2 + 8a + 15;$

б) $x^4 + 4b^4;$

в) $x^2 - 2xy - 3y^2;$

г) $m^2 + 7m + 10;$

д) $p^2 - 5p + 6;$

е) $3m^2 + 27m + 54;$

ж) $x^2 + x - 12;$

з) $a^2 + 6a + 8;$

и) $x^2 - x - 12.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) $a^2 + 8a + 15$
Для выделения полного квадрата из выражения $a^2 + 8a$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае $x=a$, а $2xy = 8a$, откуда $2y=8$ и $y=4$.
Следовательно, для полного квадрата нам не хватает слагаемого $y^2 = 4^2 = 16$. Добавим и вычтем 16:
$a^2 + 8a + 15 = (a^2 + 8a + 16) - 16 + 15$
Группируем слагаемые и упрощаем:
$(a+4)^2 - 1$
Теперь применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = (a+4)$ и $B=1$:
$(a+4)^2 - 1^2 = ((a+4)-1)((a+4)+1) = (a+3)(a+5)$
Ответ: $(a+3)(a+5)$

б) $x^4 + 4b^4$
Представим слагаемые в виде квадратов: $(x^2)^2 + (2b^2)^2$.
Чтобы получить полный квадрат суммы, нам нужен удвоенный член $2 \cdot x^2 \cdot 2b^2 = 4x^2b^2$. Добавим и вычтем этот член:
$x^4 + 4b^4 = (x^4 + 4x^2b^2 + 4b^4) - 4x^2b^2$
Сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат:
$(x^2 + 2b^2)^2 - (2xb)^2$
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = (x^2 + 2b^2)$ и $B=2xb$:
$((x^2 + 2b^2) - 2xb)((x^2 + 2b^2) + 2xb)$
Запишем в стандартном виде:
$(x^2 - 2xb + 2b^2)(x^2 + 2xb + 2b^2)$
Ответ: $(x^2 - 2xb + 2b^2)(x^2 + 2xb + 2b^2)$

в) $x^2 - 2xy - 3y^2$
Рассмотрим первые два слагаемых $x^2 - 2xy$. Это начало формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$, $b=y$. Добавим и вычтем $y^2$:
$x^2 - 2xy - 3y^2 = (x^2 - 2xy + y^2) - y^2 - 3y^2$
Группируем и упрощаем:
$(x-y)^2 - 4y^2$
Теперь это разность квадратов $(x-y)^2 - (2y)^2$. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:
$((x-y) - 2y)((x-y) + 2y)$
Упростим:
$(x - 3y)(x + y)$
Ответ: $(x - 3y)(x + y)$

г) $m^2 + 7m + 10$
Для выделения полного квадрата из $m^2 + 7m$, определим второй член. $2b=7$, значит $b = \frac{7}{2}$. Нам нужно слагаемое $b^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$.
Добавим и вычтем $\frac{49}{4}$:
$m^2 + 7m + 10 = (m^2 + 7m + \frac{49}{4}) - \frac{49}{4} + 10$
Группируем и упрощаем:
$(m + \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} + \frac{40}{4} = (m + \frac{7}{2})^2 - \frac{9}{4}$
Применяем формулу разности квадратов, где $A = (m + \frac{7}{2})$ и $B = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$:
$((m + \frac{7}{2}) - \frac{3}{2})((m + \frac{7}{2}) + \frac{3}{2})$
Упрощаем:
$(m + \frac{4}{2})(m + \frac{10}{2}) = (m+2)(m+5)$
Ответ: $(m+2)(m+5)$

д) $p^2 - 5p + 6$
Выделяем полный квадрат из $p^2 - 5p$. $2b=5$, значит $b = \frac{5}{2}$. Нам нужно слагаемое $b^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$.
Добавляем и вычитаем $\frac{25}{4}$:
$p^2 - 5p + 6 = (p^2 - 5p + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} + 6$
Группируем и упрощаем:
$(p - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{24}{4} = (p - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}$
Применяем формулу разности квадратов:
$((p - \frac{5}{2}) - \frac{1}{2})((p - \frac{5}{2}) + \frac{1}{2})$
Упрощаем:
$(p - \frac{6}{2})(p - \frac{4}{2}) = (p-3)(p-2)$
Ответ: $(p-2)(p-3)$

е) $3m^2 + 27m + 54$
Сначала вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3(m^2 + 9m + 18)$
Теперь выделим полный квадрат в выражении $m^2 + 9m + 18$. Для $m^2+9m$ второй член $b = \frac{9}{2}$, а $b^2 = \frac{81}{4}$.
$3((m^2 + 9m + \frac{81}{4}) - \frac{81}{4} + 18) = 3((m + \frac{9}{2})^2 - \frac{81}{4} + \frac{72}{4})$
Упрощаем:
$3((m + \frac{9}{2})^2 - \frac{9}{4})$
Применяем формулу разности квадратов:
$3((m + \frac{9}{2} - \frac{3}{2})(m + \frac{9}{2} + \frac{3}{2}))$
$3(m + \frac{6}{2})(m + \frac{12}{2}) = 3(m+3)(m+6)$
Ответ: $3(m+3)(m+6)$

ж) $x^2 + x - 12$
Выделяем полный квадрат из $x^2 + x$. Второй член $b = \frac{1}{2}$, $b^2 = \frac{1}{4}$.
$x^2 + x - 12 = (x^2 + x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - 12$
$(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - \frac{48}{4} = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{49}{4}$
Применяем формулу разности квадратов:
$((x + \frac{1}{2}) - \frac{7}{2})((x + \frac{1}{2}) + \frac{7}{2})$
$(x - \frac{6}{2})(x + \frac{8}{2}) = (x-3)(x+4)$
Ответ: $(x-3)(x+4)$

з) $a^2 + 6a + 8$
Выделяем полный квадрат из $a^2 + 6a$. Второй член $b = \frac{6}{2} = 3$, $b^2=9$.
$a^2 + 6a + 8 = (a^2 + 6a + 9) - 9 + 8$
$(a+3)^2 - 1$
Применяем формулу разности квадратов:
$(a+3-1)(a+3+1) = (a+2)(a+4)$
Ответ: $(a+2)(a+4)$

и) $x^2 - x - 12$
Выделяем полный квадрат из $x^2 - x$. Второй член $b = \frac{1}{2}$, $b^2 = \frac{1}{4}$.
$x^2 - x - 12 = (x^2 - x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - 12$
$(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - \frac{48}{4} = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{49}{4}$
Применяем формулу разности квадратов:
$((x - \frac{1}{2}) - \frac{7}{2})((x - \frac{1}{2}) + \frac{7}{2})$
$(x - \frac{8}{2})(x + \frac{6}{2}) = (x-4)(x+3)$
Ответ: $(x-4)(x+3)$