Номер 477, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 477, страница 124.

Условие.

Разложите многочлен на множители (477-479):

477. а) $x^4 - 3x^2 + 2$;

б) $b^2c^2 - 4bc - b^2 - c^2 + 1$;

В) $y^2 - 10y + 25 - 4x^2$;

Г) $(a + b)^3 - a^3 - b^3$;

Д) $x^{16} - y^{16}$;

е) $x^4 - 3x^2 + 1$;

Ж) $x^4 - 8x^2 + 4$;

З) $x^4 - 7x^2 + 1$;

И) $x^4 + 12x^2 + 64$;

К) $x^4 + x^2 - 2.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Данный многочлен $x^4 - 3x^2 + 2$ является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Тогда многочлен примет вид:

$t^2 - 3t + 2$

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Тогда квадратный трехчлен можно разложить на множители: $(t - 1)(t - 2)$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив обратно $t = x^2$:

$(x^2 - 1)(x^2 - 2)$

Первый множитель $x^2 - 1$ является разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Итоговое разложение:

$(x - 1)(x + 1)(x^2 - 2)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 - 2)$

б)

Для разложения многочлена $b^2c^2 - 4bc - b^2 - c^2 + 1$ сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты.

Перепишем выражение, сгруппировав члены: $(b^2c^2 - 2bc + 1) - (b^2 + 2bc + c^2)$.

Первая группа $(b^2c^2 - 2bc + 1)$ является полным квадратом разности $(bc - 1)^2$.

Вторая группа $(b^2 + 2bc + c^2)$ является полным квадратом суммы $(b + c)^2$.

Тогда выражение принимает вид:

$(bc - 1)^2 - (b + c)^2$

Это разность квадратов $A^2 - B^2$, где $A = bc - 1$ и $B = b + c$. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$((bc - 1) - (b + c))((bc - 1) + (b + c))$

Раскроем внутренние скобки:

$(bc - 1 - b - c)(bc - 1 + b + c)$

Ответ: $(bc - b - c - 1)(bc + b + c - 1)$

в)

В многочлене $y^2 - 10y + 25 - 4x^2$ первые три слагаемых образуют полный квадрат.

$y^2 - 10y + 25 = (y - 5)^2$

Теперь выражение выглядит так:

$(y - 5)^2 - 4x^2$

Заметим, что $4x^2 = (2x)^2$. Получаем разность квадратов:

$(y - 5)^2 - (2x)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = y - 5$ и $b = 2x$:

$((y - 5) - 2x)((y - 5) + 2x)$

$(y - 2x - 5)(y + 2x - 5)$

Ответ: $(y - 2x - 5)(y + 2x - 5)$

г)

Раскроем куб суммы в выражении $(a + b)^3 - a^3 - b^3$.

Формула куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Подставим это в исходное выражение:

$(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - a^3 - b^3$

Сократим $a^3$ и $b^3$:

$3a^2b + 3ab^2$

Вынесем общий множитель $3ab$ за скобки:

$3ab(a + b)$

Ответ: $3ab(a + b)$

д)

Для разложения $x^{16} - y^{16}$ последовательно применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$x^{16} - y^{16} = (x^8)^2 - (y^8)^2 = (x^8 - y^8)(x^8 + y^8)$

Продолжаем разложение для множителя $(x^8 - y^8)$:

$(x^8 - y^8) = (x^4)^2 - (y^4)^2 = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4)$

Продолжаем для $(x^4 - y^4)$:

$(x^4 - y^4) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$

И, наконец, для $(x^2 - y^2)$:

$(x^2 - y^2) = (x - y)(x + y)$

Собираем все множители вместе. Суммы квадратов $(x^2 + y^2)$, $(x^4 + y^4)$, $(x^8 + y^8)$ далее не раскладываются на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8)$

е)

Чтобы разложить $x^4 - 3x^2 + 1$, используем метод выделения полного квадрата. Представим $-3x^2$ как $-2x^2 - x^2$.

$x^4 - 2x^2 + 1 - x^2$

Сгруппируем первые три члена: $(x^4 - 2x^2 + 1) - x^2$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $(x^2 - 1)^2$.

Получаем $(x^2 - 1)^2 - x^2$.

Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$((x^2 - 1) - x)((x^2 - 1) + x)$

$(x^2 - x - 1)(x^2 + x - 1)$

Ответ: $(x^2 - x - 1)(x^2 + x - 1)$

ж)

Разложим на множители $x^4 - 8x^2 + 4$, используя метод выделения полного квадрата.

Чтобы получить полный квадрат из $x^4$ и $4$, нам нужен член $\pm 4x^2$. Выберем $-4x^2$.

Представим $-8x^2$ как $-4x^2 - 4x^2$:

$x^4 - 4x^2 + 4 - 4x^2$

Сгруппируем первые три члена: $(x^4 - 4x^2 + 4) - 4x^2$.

Выражение в скобках — это $(x^2 - 2)^2$. А $4x^2 = (2x)^2$.

Получаем разность квадратов: $(x^2 - 2)^2 - (2x)^2$.

Раскладываем по формуле:

$((x^2 - 2) - 2x)((x^2 - 2) + 2x)$

$(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2)$

Ответ: $(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2)$

з)

Разложим на множители $x^4 - 7x^2 + 1$ методом выделения полного квадрата.

Чтобы получить полный квадрат из $x^4$ и $1$, нам нужен член $\pm 2x^2$. Выберем $+2x^2$.

Представим $-7x^2$ как $+2x^2 - 9x^2$:

$x^4 + 2x^2 + 1 - 9x^2$

Сгруппируем: $(x^4 + 2x^2 + 1) - 9x^2$.

Выражение в скобках — это $(x^2 + 1)^2$. А $9x^2 = (3x)^2$.

Получаем разность квадратов: $(x^2 + 1)^2 - (3x)^2$.

Раскладываем по формуле:

$((x^2 + 1) - 3x)((x^2 + 1) + 3x)$

$(x^2 - 3x + 1)(x^2 + 3x + 1)$

Ответ: $(x^2 - 3x + 1)(x^2 + 3x + 1)$

и)

Разложим на множители $x^4 + 12x^2 + 64$ методом выделения полного квадрата.

Для полного квадрата из $x^4$ и $64$ нужен член $2 \cdot x^2 \cdot 8 = 16x^2$.

Представим $12x^2$ как $16x^2 - 4x^2$:

$x^4 + 16x^2 + 64 - 4x^2$

Сгруппируем: $(x^4 + 16x^2 + 64) - 4x^2$.

Выражение в скобках — это $(x^2 + 8)^2$. А $4x^2 = (2x)^2$.

Получаем разность квадратов: $(x^2 + 8)^2 - (2x)^2$.

Раскладываем по формуле:

$((x^2 + 8) - 2x)((x^2 + 8) + 2x)$

$(x^2 - 2x + 8)(x^2 + 2x + 8)$

Ответ: $(x^2 - 2x + 8)(x^2 + 2x + 8)$

к)

Данный многочлен $x^4 + x^2 - 2$ является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$.

$t^2 + t - 2$

Чтобы разложить этот квадратный трехчлен, найдем два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1. Это числа 2 и -1.

Следовательно, $t^2 + t - 2 = (t + 2)(t - 1)$.

Вернемся к переменной $x$, подставив $t = x^2$:

$(x^2 + 2)(x^2 - 1)$

Множитель $(x^2 - 1)$ является разностью квадратов:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Итоговое разложение:

$(x^2 + 2)(x - 1)(x + 1)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 2)$