Номер 472, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 472, страница 123.

Условие.

472. Разложите многочлен на множители, предварительно представив один из его членов в виде суммы:

а) $x^2 - 3x + 2;$

б) $a^2 - 5a + 4;$

в) $a^2 - 6a + 5;$

г) $x^2 - 3x - 4;$

д) $m^2 - 3mn + 2n^2;$

е) $m^2 - 7mn + 6n^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) $x^2 - 3x + 2$

Для разложения многочлена на множители представим средний член $-3x$ в виде суммы двух слагаемых. Подберем два числа, сумма которых равна $-3$, а произведение равно $2$. Это числа $-1$ и $-2$. Таким образом, $-3x = -x - 2x$.

$x^2 - 3x + 2 = x^2 - x - 2x + 2$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(x^2 - x) + (-2x + 2) = x(x - 1) - 2(x - 1)$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$:

$(x - 1)(x - 2)$

Ответ: $(x - 1)(x - 2)$.

б) $a^2 - 5a + 4$

Представим член $-5a$ в виде суммы. Нам нужны два числа, которые в сумме дают $-5$, а в произведении $4$. Это числа $-1$ и $-4$. Итак, $-5a = -a - 4a$.

$a^2 - 5a + 4 = a^2 - a - 4a + 4$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(a^2 - a) + (-4a + 4) = a(a - 1) - 4(a - 1)$

Вынесем за скобки общий множитель $(a - 1)$:

$(a - 1)(a - 4)$

Ответ: $(a - 1)(a - 4)$.

в) $a^2 - 6a + 5$

Представим $-6a$ в виде суммы. Нужны два числа с суммой $-6$ и произведением $5$. Это $-1$ и $-5$. Значит, $-6a = -a - 5a$.

$a^2 - 6a + 5 = a^2 - a - 5a + 5$

Выполним группировку:

$(a^2 - a) + (-5a + 5) = a(a - 1) - 5(a - 1)$

Вынесем общий множитель $(a - 1)$:

$(a - 1)(a - 5)$

Ответ: $(a - 1)(a - 5)$.

г) $x^2 - 3x - 4$

Представим $-3x$ в виде суммы. Ищем два числа, сумма которых равна $-3$, а произведение $-4$. Это числа $1$ и $-4$. Таким образом, $-3x = x - 4x$.

$x^2 - 3x - 4 = x^2 + x - 4x - 4$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(x^2 + x) + (-4x - 4) = x(x + 1) - 4(x + 1)$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$:

$(x + 1)(x - 4)$

Ответ: $(x + 1)(x - 4)$.

д) $m^2 - 3mn + 2n^2$

Представим средний член $-3mn$ в виде суммы. Коэффициенты при $mn$ должны в сумме давать $-3$, а в произведении $2$. Это $-1$ и $-2$. Итак, $-3mn = -mn - 2mn$.

$m^2 - 3mn + 2n^2 = m^2 - mn - 2mn + 2n^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(m^2 - mn) + (-2mn + 2n^2) = m(m - n) - 2n(m - n)$

Вынесем общий множитель $(m - n)$:

$(m - n)(m - 2n)$

Ответ: $(m - n)(m - 2n)$.

е) $m^2 - 7mn + 6n^2$

Представим член $-7mn$ в виде суммы. Ищем два числа с суммой $-7$ и произведением $6$. Это числа $-1$ и $-6$. Таким образом, $-7mn = -mn - 6mn$.

$m^2 - 7mn + 6n^2 = m^2 - mn - 6mn + 6n^2$

Выполним группировку и вынесем общие множители:

$(m^2 - mn) + (-6mn + 6n^2) = m(m - n) - 6n(m - n)$

Вынесем общий множитель $(m - n)$:

$(m - n)(m - 6n)$

Ответ: $(m - n)(m - 6n)$.