Номер 468, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 468, страница 123.

Условие.

468. Преобразуйте данное целое выражение в произведение многочленов:

a) $(2m + n)(6m + 2n) - (m - 3n)(8n + 16m)$;

б) $(x - 1)(4x - 6y) + (x + 1)(18y - 12x)$;

в) $(2a + 1)(5a - 15) + (30 - 10a)(a - 2)$;

г) $2a(a + 2)^2 - 3b(a + 2)$;

д) $(x - 2)^2(x - 3) + (x - 2)(x - 3)^2$;

е) $3m(m + 2n) - 2n(m + 2n)^2$;

ж) $(p + 3q)^2(p - q) - (p + 3q)(p - q)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) $(2m + n)(6m + 2n) - (m - 3n)(8n + 16m)$

Для преобразования выражения в произведение, найдем общие множители. Сначала вынесем числовые множители из некоторых скобок:

$6m + 2n = 2(3m + n)$

$8n + 16m = 8(n + 2m) = 8(2m + n)$

Подставим эти выражения в исходное:

$(2m + n) \cdot 2(3m + n) - (m - 3n) \cdot 8(2m + n)$

Теперь мы видим общий множитель $(2m + n)$, а также общий числовой множитель 2. Вынесем $2(2m + n)$ за скобки:

$2(2m + n) \cdot [(3m + n) - 4(m - 3n)]$

Упростим выражение внутри квадратных скобок:

$3m + n - 4m + 12n = -m + 13n = 13n - m$

В результате получаем:

$2(2m + n)(13n - m)$

Ответ: $2(2m + n)(13n - m)$.

б) $(x - 1)(4x - 6y) + (x + 1)(18y - 12x)$

Вынесем общие множители из скобок:

$4x - 6y = 2(2x - 3y)$

$18y - 12x = 6(3y - 2x) = -6(2x - 3y)$

Подставим преобразованные выражения:

$(x - 1) \cdot 2(2x - 3y) + (x + 1) \cdot [-6(2x - 3y)]$

$2(x - 1)(2x - 3y) - 6(x + 1)(2x - 3y)$

Теперь вынесем общий множитель $2(2x - 3y)$ за скобки:

$2(2x - 3y) \cdot [(x - 1) - 3(x + 1)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$x - 1 - 3x - 3 = -2x - 4 = -2(x + 2)$

Подставим обратно и перемножим числовые коэффициенты:

$2(2x - 3y) \cdot [-2(x + 2)] = -4(2x - 3y)(x + 2)$

Ответ: $-4(2x - 3y)(x + 2)$.

в) $(2a + 1)(5a - 15) + (30 - 10a)(a - 2)$

Вынесем общие множители из скобок:

$5a - 15 = 5(a - 3)$

$30 - 10a = 10(3 - a) = -10(a - 3)$

Подставим преобразованные выражения:

$(2a + 1) \cdot 5(a - 3) + [-10(a - 3)](a - 2)$

$5(2a + 1)(a - 3) - 10(a - 3)(a - 2)$

Вынесем общий множитель $5(a - 3)$ за скобки:

$5(a - 3) \cdot [(2a + 1) - 2(a - 2)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$2a + 1 - 2a + 4 = 5$

Подставим обратно и перемножим коэффициенты:

$5(a - 3) \cdot 5 = 25(a - 3)$

Ответ: $25(a - 3)$.

г) $2a(a + 2)^2 - 3b(a + 2)$

В этом выражении есть общий множитель $(a + 2)$. Вынесем его за скобки:

$(a + 2) \cdot [2a(a + 2) - 3b]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$2a^2 + 4a - 3b$

Дальнейшее разложение на множители невозможно.

Ответ: $(a + 2)(2a^2 + 4a - 3b)$.

д) $(x - 2)^2(x - 3) + (x - 2)(x - 3)^2$

Здесь общими множителями являются $(x - 2)$ и $(x - 3)$. Вынесем их произведение $(x - 2)(x - 3)$ за скобки:

$(x - 2)(x - 3) \cdot [(x - 2) + (x - 3)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$x - 2 + x - 3 = 2x - 5$

В итоге получаем произведение трех множителей.

Ответ: $(x - 2)(x - 3)(2x - 5)$.

е) $3m(m + 2n) - 2n(m + 2n)^2$

Общим множителем является $(m + 2n)$. Вынесем его за скобки:

$(m + 2n) \cdot [3m - 2n(m + 2n)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$3m - 2n \cdot m - 2n \cdot 2n = 3m - 2mn - 4n^2$

Полученный многочлен не раскладывается на более простые множители.

Ответ: $(m + 2n)(3m - 2mn - 4n^2)$.

ж) $(p + 3q)^2(p - q) - (p + 3q)(p - q)^2$

Общими множителями являются $(p + 3q)$ и $(p - q)$. Вынесем их произведение $(p + 3q)(p - q)$ за скобки:

$(p + 3q)(p - q) \cdot [(p + 3q) - (p - q)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$p + 3q - p + q = 4q$

Подставим обратно и запишем одночлен в начале выражения.

Ответ: $4q(p + 3q)(p - q)$.