Страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

506. a) $\frac{x-1}{2} + \frac{1}{2}$;

б) $\frac{2a}{3} - \frac{1-a}{3}$;

В) $\frac{a+b}{5} + \frac{a}{5}$;

Г) $\frac{y}{7} - \frac{x-y}{7}$;

Д) $\frac{2+x}{3} + \frac{2x-8}{3}$;

е) $\frac{2a}{8} - \frac{a+1}{8}$.

а) Для сложения дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

$\frac{x - 1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{(x - 1) + 1}{2} = \frac{x - 1 + 1}{2} = \frac{x}{2}$

Ответ: $\frac{x}{2}$

б) Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями необходимо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним. Выражение в числителе вычитаемой дроби заключаем в скобки, чтобы правильно раскрыть знак.

$\frac{2a}{3} - \frac{1 - a}{3} = \frac{2a - (1 - a)}{3} = \frac{2a - 1 + a}{3} = \frac{3a - 1}{3}$

Ответ: $\frac{3a - 1}{3}$

в) Складываем дроби с одинаковыми знаменателями, сложив их числители.

$\frac{a + b}{5} + \frac{a}{5} = \frac{(a + b) + a}{5} = \frac{a + b + a}{5} = \frac{2a + b}{5}$

Ответ: $\frac{2a + b}{5}$

г) Вычитаем дроби с одинаковыми знаменателями, вычитая из первого числителя второй. Числитель вычитаемой дроби заключаем в скобки.

$\frac{y}{7} - \frac{x - y}{7} = \frac{y - (x - y)}{7} = \frac{y - x + y}{7} = \frac{2y - x}{7}$

Ответ: $\frac{2y - x}{7}$

д) Складываем дроби с одинаковыми знаменателями. Затем приводим подобные слагаемые в числителе и, если возможно, сокращаем дробь.

$\frac{2 + x}{3} + \frac{2x - 8}{3} = \frac{(2 + x) + (2x - 8)}{3} = \frac{2 + x + 2x - 8}{3} = \frac{3x - 6}{3}$

Выносим общий множитель 3 за скобки в числителе и сокращаем дробь:

$\frac{3(x - 2)}{3} = x - 2$

Ответ: $x-2$

е) Выполняем вычитание дробей с одинаковым знаменателем, не забывая про скобки для числителя вычитаемой дроби.

$\frac{2a}{8} - \frac{a + 1}{8} = \frac{2a - (a + 1)}{8} = \frac{2a - a - 1}{8} = \frac{a - 1}{8}$

Ответ: $\frac{a - 1}{8}$

507. a) $\frac{1}{a} + \frac{2}{a}$;

б) $\frac{a}{x} + \frac{3}{x}$;

В) $\frac{a}{b} - \frac{2a}{b}$;

Г) $\frac{3x^2}{a} + \frac{2x^2}{a}$;

Д) $\frac{x+4}{a} + \frac{2x}{a}$;

Е) $\frac{x+1}{x} - \frac{x+3}{x}$.

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. В данном случае знаменатель у обеих дробей равен $a$. Складываем числители: $1 + 2 = 3$. В результате получаем:
$\frac{1}{a} + \frac{2}{a} = \frac{1+2}{a} = \frac{3}{a}$.
Ответ: $\frac{3}{a}$

б) Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $x$. Чтобы их сложить, складываем числители $a$ и $3$, а знаменатель оставляем без изменений:
$\frac{a}{x} + \frac{3}{x} = \frac{a+3}{x}$.
В числителе нет подобных слагаемых, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{a+3}{x}$

в) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же. Знаменатель равен $b$. Выполняем вычитание в числителе: $a - 2a = -a$. Таким образом, результат:
$\frac{a}{b} - \frac{2a}{b} = \frac{a-2a}{b} = \frac{-a}{b} = -\frac{a}{b}$.
Ответ: $-\frac{a}{b}$

г) Дроби имеют общий знаменатель $a$. Складываем их числители. Числители являются подобными одночленами, поэтому мы можем их сложить: $3x^2 + 2x^2 = (3+2)x^2 = 5x^2$. Записываем итоговый результат:
$\frac{3x^2}{a} + \frac{2x^2}{a} = \frac{3x^2 + 2x^2}{a} = \frac{5x^2}{a}$.
Ответ: $\frac{5x^2}{a}$

д) Знаменатели дробей одинаковы и равны $a$. Складываем числители: $(x+4) + 2x$. Приводим подобные слагаемые в числителе, складывая $x$ и $2x$: $x + 2x + 4 = 3x + 4$. Получаем дробь:
$\frac{x+4}{a} + \frac{2x}{a} = \frac{(x+4) + 2x}{a} = \frac{3x+4}{a}$.
Ответ: $\frac{3x+4}{a}$

е) Выполняем вычитание дробей с одинаковым знаменателем $x$. Для этого вычитаем числители: $(x+1) - (x+3)$. Важно правильно раскрыть скобки, учитывая, что перед второй скобкой стоит знак минус: $x+1-x-3$. Приводим подобные слагаемые: $(x-x) + (1-3) = 0 - 2 = -2$. Итоговое выражение:
$\frac{x+1}{x} - \frac{x+3}{x} = \frac{(x+1)-(x+3)}{x} = \frac{x+1-x-3}{x} = \frac{-2}{x} = -\frac{2}{x}$.
Ответ: $-\frac{2}{x}$

508. a) $ \frac{3}{a+b} + \frac{5}{a+b} $;

б) $ \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x-1} $;

В) $ \frac{a+3}{a+b} + \frac{a-3}{a+b} $;

Г) $ \frac{m+1}{m+n} - \frac{3-m}{m+n} $;

Д) $ \frac{2x-4}{x-3} - \frac{3x+5}{x-3} $;

е) $ \frac{7p-1}{p+1} - \frac{7-p}{p+1} $.

а) Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $a+b$. Чтобы сложить алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
$\frac{3}{a+b} + \frac{5}{a+b} = \frac{3+5}{a+b} = \frac{8}{a+b}$

Ответ: $\frac{8}{a+b}$

б) Данные дроби имеют одинаковый знаменатель $x-1$. Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x-1} = \frac{2-1}{x-1} = \frac{1}{x-1}$

Ответ: $\frac{1}{x-1}$

в) Знаменатели дробей одинаковы ($a+b$). Выполним сложение числителей.
$\frac{a+3}{a+b} + \frac{a-3}{a+b} = \frac{(a+3) + (a-3)}{a+b} = \frac{a+3+a-3}{a+b}$
Приводим подобные слагаемые в числителе: $a+a=2a$ и $3-3=0$.
$\frac{2a}{a+b}$

Ответ: $\frac{2a}{a+b}$

г) Знаменатели дробей одинаковы ($m+n$). Выполним вычитание числителей. Так как перед второй дробью стоит знак "минус", ее числитель $(3-m)$ необходимо взять в скобки.
$\frac{m+1}{m+n} - \frac{3-m}{m+n} = \frac{(m+1) - (3-m)}{m+n} = \frac{m+1-3+m}{m+n}$
Приводим подобные слагаемые в числителе: $m+m=2m$ и $1-3=-2$.
$\frac{2m-2}{m+n}$

Ответ: $\frac{2m-2}{m+n}$

д) Знаменатели дробей одинаковы ($x-3$). Выполним вычитание числителей. Числитель второй дроби $(3x+5)$ нужно взять в скобки, так как перед дробью стоит знак "минус".
$\frac{2x-4}{x-3} - \frac{3x+5}{x-3} = \frac{(2x-4) - (3x+5)}{x-3} = \frac{2x-4-3x-5}{x-3}$
Приводим подобные слагаемые в числителе: $2x-3x=-x$ и $-4-5=-9$.
$\frac{-x-9}{x-3}$

Ответ: $\frac{-x-9}{x-3}$

е) Знаменатели дробей одинаковы ($p+1$). Выполним вычитание числителей. Числитель второй дроби $(7-p)$ нужно взять в скобки.
$\frac{7p-1}{p+1} - \frac{7-p}{p+1} = \frac{(7p-1) - (7-p)}{p+1} = \frac{7p-1-7+p}{p+1}$
Приводим подобные слагаемые в числителе: $7p+p=8p$ и $-1-7=-8$.
$\frac{8p-8}{p+1}$
В числителе можно вынести общий множитель 8 за скобки: $\frac{8(p-1)}{p+1}$.

Ответ: $\frac{8p-8}{p+1}$

509. а) $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{2x}{1 - x}$;

б) $\frac{1}{x - y} - \frac{1}{y - x}$;

В) $\frac{2a}{a - b} - \frac{3a}{b - a}$;

Г) $\frac{4m - 1}{n - m} + \frac{m - 4}{m - n}$;

Д) $\frac{2p + q}{p - 2q} + \frac{p + 3q}{2q - p}$;

е) $\frac{8a + b}{1 - a} - \frac{2a - 3b}{a - 1}$.

а)

Чтобы сложить дроби $\frac{x+1}{x-1} + \frac{2x}{1-x}$, приведем их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $x-1$ и $1-x$ являются противоположными выражениями, то есть $1-x = -(x-1)$.

Преобразуем вторую дробь, вынеся знак минус из знаменателя:

$\frac{2x}{1-x} = \frac{2x}{-(x-1)} = -\frac{2x}{x-1}$

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{2x}{x-1}$

Так как знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(x+1) - 2x}{x-1} = \frac{x+1-2x}{x-1} = \frac{1-x}{x-1}$

В числителе вынесем $-1$ за скобки:

$\frac{-(x-1)}{x-1} = -1$

Ответ: $-1$

б)

Рассмотрим выражение $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-x}$.

Знаменатели $x-y$ и $y-x$ противоположны: $y-x = -(x-y)$.

Преобразуем вторую дробь:

$\frac{1}{y-x} = \frac{1}{-(x-y)} = -\frac{1}{x-y}$

Подставим полученное выражение в исходное:

$\frac{1}{x-y} - (-\frac{1}{x-y}) = \frac{1}{x-y} + \frac{1}{x-y}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{1+1}{x-y} = \frac{2}{x-y}$

Ответ: $\frac{2}{x-y}$

в)

Рассмотрим выражение $\frac{2a}{a-b} - \frac{3a}{b-a}$.

Знаменатели $a-b$ и $b-a$ противоположны: $b-a = -(a-b)$.

Изменим знак у второй дроби:

$\frac{3a}{b-a} = \frac{3a}{-(a-b)} = -\frac{3a}{a-b}$

Выражение примет вид:

$\frac{2a}{a-b} - (-\frac{3a}{a-b}) = \frac{2a}{a-b} + \frac{3a}{a-b}$

Сложим числители:

$\frac{2a+3a}{a-b} = \frac{5a}{a-b}$

Ответ: $\frac{5a}{a-b}$

г)

Дано выражение $\frac{4m-1}{n-m} + \frac{m-4}{m-n}$.

Знаменатели $n-m$ и $m-n$ противоположны: $m-n = -(n-m)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $n-m$. Для этого преобразуем вторую дробь:

$\frac{m-4}{m-n} = \frac{m-4}{-(n-m)} = -\frac{m-4}{n-m}$

Теперь выражение можно записать в виде:

$\frac{4m-1}{n-m} - \frac{m-4}{n-m}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(4m-1) - (m-4)}{n-m} = \frac{4m-1-m+4}{n-m} = \frac{3m+3}{n-m}$

В числителе можно вынести общий множитель $3$:

$\frac{3(m+1)}{n-m}$

Ответ: $\frac{3(m+1)}{n-m}$

д)

Рассмотрим выражение $\frac{2p+q}{p-2q} + \frac{p+3q}{2q-p}$.

Знаменатели $p-2q$ и $2q-p$ противоположны: $2q-p = -(p-2q)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $p-2q$. Преобразуем вторую дробь:

$\frac{p+3q}{2q-p} = \frac{p+3q}{-(p-2q)} = -\frac{p+3q}{p-2q}$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{2p+q}{p-2q} - \frac{p+3q}{p-2q}$

Выполним вычитание:

$\frac{(2p+q) - (p+3q)}{p-2q} = \frac{2p+q-p-3q}{p-2q} = \frac{p-2q}{p-2q}$

Так как числитель и знаменатель равны (при условии $p \ne 2q$), дробь равна $1$.

Ответ: $1$

е)

Рассмотрим выражение $\frac{8a+b}{1-a} - \frac{2a-3b}{a-1}$.

Знаменатели $1-a$ и $a-1$ противоположны: $a-1 = -(1-a)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $1-a$. Преобразуем вторую дробь:

$\frac{2a-3b}{a-1} = \frac{2a-3b}{-(1-a)} = -\frac{2a-3b}{1-a}$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{8a+b}{1-a} - (-\frac{2a-3b}{1-a}) = \frac{8a+b}{1-a} + \frac{2a-3b}{1-a}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{(8a+b) + (2a-3b)}{1-a} = \frac{8a+b+2a-3b}{1-a}$

Упростим числитель:

$\frac{10a-2b}{1-a}$

Ответ: $\frac{10a-2b}{1-a}$

510. Подберите одночлен А так, чтобы равенство было верным:

а) $\frac{2}{3} = \frac{A}{3}$;

б) $\frac{7}{10} = \frac{28}{A}$;

в) $\frac{3}{8} = -\frac{A}{32}$;

г) $-\frac{1}{5} = \frac{15}{A}$;

д) $\frac{5}{a} = \frac{A}{ab}$;

е) $\frac{6x}{y} = \frac{A}{6xy^2}$.

а) В равенстве $\frac{2}{3} = \frac{A}{3}$ знаменатели дробей равны. Следовательно, для того чтобы равенство было верным, числители также должны быть равны. Отсюда получаем, что $A = 2$.
Можно также решить это уравнение, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$2 \cdot 3 = A \cdot 3$
$6 = 3A$
$A = \frac{6}{3}$
$A = 2$
Ответ: $A = 2$.

б) Дано равенство $\frac{7}{10} = \frac{28}{A}$. Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
$7 \cdot A = 10 \cdot 28$
$7A = 280$
Разделим обе части уравнения на 7:
$A = \frac{280}{7}$
$A = 40$
Другой способ — заметить, что числитель правой дроби в 4 раза больше числителя левой ($28 : 7 = 4$). Значит, и знаменатель правой дроби должен быть в 4 раза больше знаменателя левой.
$A = 10 \cdot 4 = 40$.
Ответ: $A = 40$.

в) Дано равенство $\frac{3}{8} = -\frac{A}{32}$. Перепишем его как $\frac{3}{8} = \frac{-A}{32}$. Воспользуемся свойством пропорции:
$3 \cdot 32 = 8 \cdot (-A)$
$96 = -8A$
Разделим обе части на -8:
$A = \frac{96}{-8}$
$A = -12$
Можно также заметить, что знаменатель правой дроби в 4 раза больше знаменателя левой ($32 : 8 = 4$). Следовательно, числитель правой дроби должен быть в 4 раза больше числителя левой:
$-A = 3 \cdot 4$
$-A = 12$
$A = -12$
Ответ: $A = -12$.

г) Дано равенство $-\frac{1}{5} = \frac{15}{A}$. Запишем минус в числитель левой дроби: $\frac{-1}{5} = \frac{15}{A}$. Применим свойство пропорции:
$-1 \cdot A = 5 \cdot 15$
$-A = 75$
Умножим обе части на -1:
$A = -75$
Можно рассуждать иначе: чтобы из числителя -1 получить числитель 15, нужно умножить на -15 ($15 : (-1) = -15$). Значит, и знаменатель нужно умножить на -15:
$A = 5 \cdot (-15) = -75$.
Ответ: $A = -75$.

д) Дано равенство $\frac{5}{a} = \frac{A}{ab}$. Чтобы привести левую дробь к знаменателю $ab$, нужно домножить её числитель и знаменатель на $b$.
$\frac{5 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{5b}{ab}$
Сравнивая с правой частью $\frac{A}{ab}$, видим, что $A = 5b$.
Проверим с помощью перекрестного умножения:
$5 \cdot (ab) = a \cdot A$
$5ab = aA$
Разделив обе части на $a$ (при $a \neq 0$), получаем:
$A = 5b$
Ответ: $A = 5b$.

е) Дано равенство $\frac{6x}{y} = \frac{A}{6xy^2}$. Чтобы найти одночлен $A$, определим, на какой множитель был умножен знаменатель $y$, чтобы получить $6xy^2$.
Множитель равен $\frac{6xy^2}{y} = 6xy$.
Следовательно, на этот же множитель нужно умножить и числитель левой дроби:
$A = 6x \cdot (6xy) = 36x^2y$.
Проверим с помощью перекрестного умножения:
$6x \cdot (6xy^2) = y \cdot A$
$36x^2y^2 = yA$
Разделив обе части на $y$ (при $y \neq 0$), получаем:
$A = \frac{36x^2y^2}{y} = 36x^2y$
Ответ: $A = 36x^2y$.

511. Подберите целое выражение B так, чтобы равенство было верным:

а) $\frac{1}{2} = \frac{a+b}{B}$;

б) $\frac{x}{3} = \frac{B}{3(x+y)}$;

в) $\frac{a}{3} = \frac{B}{6a+6}$;

г) $\frac{a-b}{3} = \frac{a^2-b^2}{B}$;

д) $\frac{x}{a} = \frac{B}{a^2-a}$;

е) $\frac{m-1}{m} = \frac{m^3-1}{B}$.

а) В равенстве $\frac{1}{2} = \frac{a+b}{B}$ знаменатель правой дроби $B$ должен быть в 2 раза больше ее числителя $(a+b)$, чтобы дробь была равна $\frac{1}{2}$. Другой способ — использовать основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$1 \cdot B = 2 \cdot (a+b)$
$B = 2(a+b)$
$B = 2a + 2b$.
Проверим: $\frac{a+b}{2a+2b} = \frac{a+b}{2(a+b)} = \frac{1}{2}$. Равенство верно.
Ответ: $B = 2a + 2b$.

б) В равенстве $\frac{x}{3} = \frac{B}{3(x+y)}$ используем свойство пропорции:
$x \cdot 3(x+y) = 3 \cdot B$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x(x+y) = B$
$B = x^2 + xy$.
Проверим: $\frac{x(x+y)}{3(x+y)} = \frac{x}{3}$. Равенство верно.
Ответ: $B = x(x+y)$.

в) В равенстве $\frac{a}{3} = \frac{B}{6a+6}$ используем свойство пропорции:
$a \cdot (6a+6) = 3 \cdot B$
Вынесем общий множитель в скобках:
$a \cdot 6(a+1) = 3B$
$6a(a+1) = 3B$
Разделим обе части на 3:
$2a(a+1) = B$
$B = 2a^2 + 2a$.
Проверим: $\frac{2a^2+2a}{6a+6} = \frac{2a(a+1)}{6(a+1)} = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3}$. Равенство верно.
Ответ: $B = 2a^2 + 2a$.

г) В равенстве $\frac{a-b}{3} = \frac{a^2-b^2}{B}$ используем свойство пропорции:
$(a-b) \cdot B = 3 \cdot (a^2-b^2)$
Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$(a-b) \cdot B = 3 \cdot (a-b)(a+b)$
При условии, что $a \neq b$, мы можем разделить обе части на $(a-b)$:
$B = 3(a+b)$
$B = 3a + 3b$.
Проверим: $\frac{a^2-b^2}{3(a+b)} = \frac{(a-b)(a+b)}{3(a+b)} = \frac{a-b}{3}$. Равенство верно.
Ответ: $B = 3a + 3b$.

д) В равенстве $\frac{x}{a} = \frac{B}{a^2-a}$ используем свойство пропорции:
$x \cdot (a^2-a) = a \cdot B$
Вынесем общий множитель $a$ в левой части:
$x \cdot a(a-1) = a \cdot B$
При условии, что $a \neq 0$, мы можем разделить обе части на $a$:
$x(a-1) = B$
$B = ax - x$.
Проверим: $\frac{ax-x}{a^2-a} = \frac{x(a-1)}{a(a-1)} = \frac{x}{a}$. Равенство верно.
Ответ: $B = x(a-1)$.

е) В равенстве $\frac{m-1}{m} = \frac{m^3-1}{B}$ используем свойство пропорции:
$(m-1) \cdot B = m \cdot (m^3-1)$
Применим формулу разности кубов $m^3-1 = (m-1)(m^2+m+1)$:
$(m-1) \cdot B = m \cdot (m-1)(m^2+m+1)$
При условии, что $m \neq 1$, мы можем разделить обе части на $(m-1)$:
$B = m(m^2+m+1)$
$B = m^3 + m^2 + m$.
Проверим: $\frac{m^3-1}{m(m^2+m+1)} = \frac{(m-1)(m^2+m+1)}{m(m^2+m+1)} = \frac{m-1}{m}$. Равенство верно.
Ответ: $B = m(m^2+m+1)$.

512. Запишите выражение в виде дроби:

a) $a + \frac{a}{2}$;

б) $x - \frac{x}{3}$;

в) $\frac{x}{7} - 2x$;

г) $2 + \frac{a}{3}$;

д) $1 + \frac{1}{a}$;

е) $\frac{1}{b} - a$.

а) Чтобы представить выражение $a + \frac{a}{2}$ в виде одной дроби, необходимо привести слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь равен 2. Представим $a$ в виде дроби со знаменателем 2: $a = \frac{2a}{2}$. Теперь выполним сложение:

$a + \frac{a}{2} = \frac{2a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{2a + a}{2} = \frac{3a}{2}$

Ответ: $\frac{3a}{2}$.

б) Для выражения $x - \frac{x}{3}$ общий знаменатель равен 3. Представим $x$ в виде дроби со знаменателем 3: $x = \frac{3x}{3}$. Теперь выполним вычитание:

$x - \frac{x}{3} = \frac{3x}{3} - \frac{x}{3} = \frac{3x - x}{3} = \frac{2x}{3}$

Ответ: $\frac{2x}{3}$.

в) Для выражения $\frac{x}{7} - 2x$ общий знаменатель равен 7. Представим $2x$ в виде дроби со знаменателем 7: $2x = \frac{2x \cdot 7}{7} = \frac{14x}{7}$. Теперь выполним вычитание:

$\frac{x}{7} - 2x = \frac{x}{7} - \frac{14x}{7} = \frac{x - 14x}{7} = \frac{-13x}{7} = -\frac{13x}{7}$

Ответ: $-\frac{13x}{7}$.

г) Для выражения $2 + \frac{a}{3}$ общий знаменатель равен 3. Представим 2 в виде дроби со знаменателем 3: $2 = \frac{2 \cdot 3}{3} = \frac{6}{3}$. Теперь выполним сложение:

$2 + \frac{a}{3} = \frac{6}{3} + \frac{a}{3} = \frac{6+a}{3}$

Ответ: $\frac{a+6}{3}$.

д) Для выражения $1 + \frac{1}{a}$ общий знаменатель равен $a$. Представим 1 в виде дроби со знаменателем $a$: $1 = \frac{a}{a}$. Теперь выполним сложение:

$1 + \frac{1}{a} = \frac{a}{a} + \frac{1}{a} = \frac{a+1}{a}$

Ответ: $\frac{a+1}{a}$.

е) Для выражения $\frac{1}{b} - a$ общий знаменатель равен $b$. Представим $a$ в виде дроби со знаменателем $b$: $a = \frac{a \cdot b}{b} = \frac{ab}{b}$. Теперь выполним вычитание:

$\frac{1}{b} - a = \frac{1}{b} - \frac{ab}{b} = \frac{1 - ab}{b}$

Ответ: $\frac{1-ab}{b}$.

Преобразуйте в алгебраическую дробь (513—528):

513. a) $\frac{a}{3} + \frac{b}{2}$;

б) $\frac{x}{4} - \frac{y}{2}$;

в) $\frac{2m}{3} - \frac{4}{5}$;

Г) $\frac{4m}{3} + \frac{2n}{5}$;

Д) $\frac{3p}{4} + \frac{2p}{3}$;

е) $\frac{a^2}{4} - \frac{2a}{3}$;

ж) $\frac{7x^2}{3} + \frac{13x^2}{5}$;

з) $\frac{6xy}{7} - \frac{5xy^2}{9}$.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{a}{3}$ и $\frac{b}{2}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3 и 2 - это их произведение, то есть 6. Дополнительный множитель для первой дроби равен $6 \div 3 = 2$, а для второй - $6 \div 2 = 3$.
$\frac{a}{3} + \frac{b}{2} = \frac{a \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{b \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{2a}{6} + \frac{3b}{6} = \frac{2a + 3b}{6}$.
Ответ: $\frac{2a+3b}{6}$.

б) Чтобы вычесть дробь $\frac{y}{2}$ из дроби $\frac{x}{4}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 2 - это 4. Дополнительный множитель для первой дроби равен $4 \div 4 = 1$, а для второй - $4 \div 2 = 2$.
$\frac{x}{4} - \frac{y}{2} = \frac{x}{4} - \frac{y \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{x}{4} - \frac{2y}{4} = \frac{x - 2y}{4}$.
Ответ: $\frac{x-2y}{4}$.

в) Чтобы вычесть дробь $\frac{4}{5}$ из дроби $\frac{2m}{3}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3 и 5 - это 15. Дополнительный множитель для первой дроби равен $15 \div 3 = 5$, а для второй - $15 \div 5 = 3$.
$\frac{2m}{3} - \frac{4}{5} = \frac{2m \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{10m}{15} - \frac{12}{15} = \frac{10m - 12}{15}$.
Ответ: $\frac{10m-12}{15}$.

г) Чтобы сложить дроби $\frac{4m}{3}$ и $\frac{2n}{5}$, приведем их к общему знаменателю 15. Дополнительный множитель для первой дроби равен $15 \div 3 = 5$, а для второй - $15 \div 5 = 3$.
$\frac{4m}{3} + \frac{2n}{5} = \frac{4m \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2n \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{20m}{15} + \frac{6n}{15} = \frac{20m + 6n}{15}$.
Ответ: $\frac{20m+6n}{15}$.

д) Чтобы сложить дроби $\frac{3p}{4}$ и $\frac{2p}{3}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 - это 12. Дополнительный множитель для первой дроби равен $12 \div 4 = 3$, а для второй - $12 \div 3 = 4$.
$\frac{3p}{4} + \frac{2p}{3} = \frac{3p \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{2p \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{9p}{12} + \frac{8p}{12} = \frac{9p + 8p}{12} = \frac{17p}{12}$.
Ответ: $\frac{17p}{12}$.

е) Чтобы вычесть дробь $\frac{2a}{3}$ из дроби $\frac{a^2}{4}$, приведем их к общему знаменателю 12. Дополнительный множитель для первой дроби равен $12 \div 4 = 3$, а для второй - $12 \div 3 = 4$.
$\frac{a^2}{4} - \frac{2a}{3} = \frac{a^2 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{2a \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{3a^2}{12} - \frac{8a}{12} = \frac{3a^2 - 8a}{12}$.
Ответ: $\frac{3a^2-8a}{12}$.

ж) Чтобы сложить дроби $\frac{7x^2}{3}$ и $\frac{13x^2}{5}$, приведем их к общему знаменателю 15. Дополнительный множитель для первой дроби равен $15 \div 3 = 5$, а для второй - $15 \div 5 = 3$.
$\frac{7x^2}{3} + \frac{13x^2}{5} = \frac{7x^2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{13x^2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{35x^2}{15} + \frac{39x^2}{15} = \frac{35x^2 + 39x^2}{15} = \frac{74x^2}{15}$.
Ответ: $\frac{74x^2}{15}$.

з) Чтобы вычесть дробь $\frac{5xy^2}{9}$ из дроби $\frac{6xy}{7}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 9 - это 63. Дополнительный множитель для первой дроби равен $63 \div 7 = 9$, а для второй - $63 \div 9 = 7$.
$\frac{6xy}{7} - \frac{5xy^2}{9} = \frac{6xy \cdot 9}{7 \cdot 9} - \frac{5xy^2 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{54xy}{63} - \frac{35xy^2}{63} = \frac{54xy - 35xy^2}{63}$.
Ответ: $\frac{54xy-35xy^2}{63}$.

514. a) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$;

б) $\frac{2}{x} - \frac{3}{y}$;

В) $\frac{x}{a} + \frac{y}{b}$;

Г) $\frac{5a}{7} - \frac{b}{x}$;

Д) $\frac{1}{2a} - \frac{1}{3}$;

е) $\frac{1}{a} - \frac{1}{bc}$.

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. В данном случае знаменатели дробей - это $a$ и $b$. Наименьший общий знаменатель для них будет их произведение: $ab$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$, а второй - на $a$:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, мы можем сложить числители:
$\frac{b + a}{ab}$
Ответ: $\frac{a+b}{ab}$

б) Для вычитания дробей $\frac{2}{x}$ и $\frac{3}{y}$ найдем наименьший общий знаменатель. Знаменатели $x$ и $y$ не имеют общих множителей, поэтому их наименьший общий знаменатель - это их произведение $xy$.
Приведем дроби к этому знаменателю. Первую дробь домножим на $y$, а вторую на $x$:
$\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = \frac{2 \cdot y}{x \cdot y} - \frac{3 \cdot x}{y \cdot x} = \frac{2y}{xy} - \frac{3x}{xy}$
Теперь вычтем числители:
$\frac{2y - 3x}{xy}$
Ответ: $\frac{2y-3x}{xy}$

в) Чтобы сложить дроби $\frac{x}{a}$ и $\frac{y}{b}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $a$ и $b$ - это $ab$.
Домножим первую дробь на $b$, а вторую на $a$:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \frac{x \cdot b}{a \cdot b} + \frac{y \cdot a}{b \cdot a} = \frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab}$
Сложим числители полученных дробей:
$\frac{bx + ay}{ab}$
Ответ: $\frac{bx+ay}{ab}$

г) Для вычитания дробей $\frac{5a}{7}$ и $\frac{b}{x}$ найдем общий знаменатель. Знаменатели 7 и $x$ не имеют общих множителей, поэтому наименьший общий знаменатель равен $7x$.
Домножим первую дробь на $x$, а вторую на 7:
$\frac{5a}{7} - \frac{b}{x} = \frac{5a \cdot x}{7 \cdot x} - \frac{b \cdot 7}{x \cdot 7} = \frac{5ax}{7x} - \frac{7b}{7x}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{5ax - 7b}{7x}$
Ответ: $\frac{5ax-7b}{7x}$

д) Необходимо вычесть дроби $\frac{1}{2a}$ и $\frac{1}{3}$. Знаменатели - $2a$ и $3$. Наименьший общий знаменатель - это наименьшее общее кратное коэффициентов (2 и 3) и переменных. НОК(2, 3) = 6. Таким образом, общий знаменатель равен $6a$.
Домножим первую дробь на 3, а вторую на $2a$:
$\frac{1}{2a} - \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2a \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2a}{3 \cdot 2a} = \frac{3}{6a} - \frac{2a}{6a}$
Вычтем числители:
$\frac{3 - 2a}{6a}$
Ответ: $\frac{3-2a}{6a}$

е) Вычтем дробь $\frac{1}{bc}$ из дроби $\frac{1}{a}$. Знаменатели - $a$ и $bc$. Наименьший общий знаменатель - это их произведение $abc$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Первую дробь домножим на $bc$, а вторую на $a$:
$\frac{1}{a} - \frac{1}{bc} = \frac{1 \cdot bc}{a \cdot bc} - \frac{1 \cdot a}{bc \cdot a} = \frac{bc}{abc} - \frac{a}{abc}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{bc - a}{abc}$
Ответ: $\frac{bc-a}{abc}$