Страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

515. а) $\frac{1}{a} + \frac{1}{a+b}$;

б) $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b}$;

В) $\frac{1}{m+n} - \frac{1}{n}$;

Г) $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{x+y}$;

Д) $\frac{2}{a-b} + \frac{3}{a+b}$;

е) $\frac{4}{p-q} - \frac{3}{p+q}$;

Ж) $\frac{2a}{a-2b} + \frac{3a}{a+b}$;

З) $\frac{3x}{x-y} - \frac{2x}{2x-y}$;

И) $\frac{5m}{2m-n} - \frac{3m}{n-m}$;

К) $\frac{4p}{q-2p} - \frac{2p}{2p+q}$;

Л) $\frac{7}{2x-y} - \frac{5}{y-2x}$;

М) $\frac{5x}{x-3y} + \frac{4x+3y}{3y-x}$.

а) $\frac{1}{a} + \frac{1}{a+b}$

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Общий знаменатель для $a$ и $a+b$ — это их произведение $a(a+b)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a+b)$, а второй дроби — на $a$:

$\frac{1 \cdot (a+b)}{a(a+b)} + \frac{1 \cdot a}{a(a+b)} = \frac{a+b}{a(a+b)} + \frac{a}{a(a+b)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{a+b+a}{a(a+b)} = \frac{2a+b}{a(a+b)}$

Ответ: $\frac{2a+b}{a(a+b)}$

б) $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b}$

Общим знаменателем является произведение знаменателей $(a+b)(a-b)$, которое по формуле разности квадратов равно $a^2-b^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{1 \cdot (a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a-b+a+b}{a^2-b^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2a}{a^2-b^2}$

Ответ: $\frac{2a}{a^2-b^2}$

в) $\frac{1}{m+n} - \frac{1}{n}$

Общий знаменатель для $m+n$ и $n$ — это их произведение $n(m+n)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot n}{n(m+n)} - \frac{1 \cdot (m+n)}{n(m+n)} = \frac{n-(m+n)}{n(m+n)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{n-m-n}{n(m+n)} = \frac{-m}{n(m+n)}$

Ответ: $-\frac{m}{n(m+n)}$

г) $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{x+y}$

Общий знаменатель — это $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{1 \cdot (x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y-(x-y)}{x^2-y^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x+y-x+y}{x^2-y^2} = \frac{2y}{x^2-y^2}$

Ответ: $\frac{2y}{x^2-y^2}$

д) $\frac{2}{a-b} + \frac{3}{a+b}$

Общий знаменатель — $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2(a+b)}{(a-b)(a+b)} + \frac{3(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{2(a+b)+3(a-b)}{a^2-b^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{2a+2b+3a-3b}{a^2-b^2} = \frac{5a-b}{a^2-b^2}$

Ответ: $\frac{5a-b}{a^2-b^2}$

е) $\frac{4}{p-q} - \frac{3}{p+q}$

Общий знаменатель — $(p-q)(p+q) = p^2-q^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4(p+q)}{(p-q)(p+q)} - \frac{3(p-q)}{(p-q)(p+q)} = \frac{4(p+q)-3(p-q)}{p^2-q^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4p+4q-3p+3q}{p^2-q^2} = \frac{p+7q}{p^2-q^2}$

Ответ: $\frac{p+7q}{p^2-q^2}$

ж) $\frac{2a}{a-2b} + \frac{3a}{a+b}$

Общий знаменатель — $(a-2b)(a+b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2a(a+b)}{(a-2b)(a+b)} + \frac{3a(a-2b)}{(a-2b)(a+b)} = \frac{2a(a+b)+3a(a-2b)}{(a-2b)(a+b)}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2a^2+2ab+3a^2-6ab}{(a-2b)(a+b)} = \frac{5a^2-4ab}{(a-2b)(a+b)}$

Вынесем общий множитель $a$ в числителе:

$\frac{a(5a-4b)}{(a-2b)(a+b)}$

Ответ: $\frac{a(5a-4b)}{(a-2b)(a+b)}$

з) $\frac{3x}{x-y} - \frac{2x}{2x-y}$

Общий знаменатель — $(x-y)(2x-y)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{3x(2x-y)}{(x-y)(2x-y)} - \frac{2x(x-y)}{(x-y)(2x-y)} = \frac{3x(2x-y)-2x(x-y)}{(x-y)(2x-y)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{6x^2-3xy-(2x^2-2xy)}{(x-y)(2x-y)} = \frac{6x^2-3xy-2x^2+2xy}{(x-y)(2x-y)} = \frac{4x^2-xy}{(x-y)(2x-y)}$

Вынесем общий множитель $x$ в числителе:

$\frac{x(4x-y)}{(x-y)(2x-y)}$

Ответ: $\frac{x(4x-y)}{(x-y)(2x-y)}$

и) $\frac{5m}{2m-n} - \frac{3m}{n-m}$

Заметим, что знаменатель второй дроби $n-m = -(m-n)$. Преобразуем выражение, изменив знак перед дробью:

$\frac{5m}{2m-n} - \frac{3m}{-(m-n)} = \frac{5m}{2m-n} + \frac{3m}{m-n}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(2m-n)(m-n)$:

$\frac{5m(m-n)}{(2m-n)(m-n)} + \frac{3m(2m-n)}{(2m-n)(m-n)} = \frac{5m^2-5mn + 6m^2-3mn}{(2m-n)(m-n)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{11m^2-8mn}{(2m-n)(m-n)}$

Вынесем общий множитель $m$ за скобки:

$\frac{m(11m-8n)}{(2m-n)(m-n)}$

Ответ: $\frac{m(11m-8n)}{(2m-n)(m-n)}$

к) $\frac{4p}{q-2p} - \frac{2p}{2p+q}$

Общий знаменатель — $(q-2p)(q+2p)$, что по формуле разности квадратов равно $q^2-4p^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4p(q+2p)}{(q-2p)(q+2p)} - \frac{2p(q-2p)}{(q-2p)(q+2p)} = \frac{4p(q+2p)-2p(q-2p)}{q^2-4p^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{4pq+8p^2-(2pq-4p^2)}{q^2-4p^2} = \frac{4pq+8p^2-2pq+4p^2}{q^2-4p^2} = \frac{12p^2+2pq}{q^2-4p^2}$

Вынесем общий множитель $2p$ в числителе:

$\frac{2p(6p+q)}{q^2-4p^2}$

Ответ: $\frac{2p(6p+q)}{q^2-4p^2}$

л) $\frac{7}{2x-y} - \frac{5}{y-2x}$

Заметим, что знаменатель второй дроби $y-2x = -(2x-y)$. Используем это свойство:

$\frac{7}{2x-y} - \frac{5}{-(2x-y)} = \frac{7}{2x-y} + \frac{5}{2x-y}$

Теперь дроби имеют одинаковый знаменатель. Сложим их числители:

$\frac{7+5}{2x-y} = \frac{12}{2x-y}$

Ответ: $\frac{12}{2x-y}$

м) $\frac{5x}{x-3y} + \frac{4x+3y}{3y-x}$

Знаменатель второй дроби $3y-x = -(x-3y)$. Преобразуем выражение:

$\frac{5x}{x-3y} + \frac{4x+3y}{-(x-3y)} = \frac{5x}{x-3y} - \frac{4x+3y}{x-3y}$

У дробей теперь общий знаменатель. Выполним вычитание числителей:

$\frac{5x - (4x+3y)}{x-3y} = \frac{5x - 4x - 3y}{x-3y} = \frac{x-3y}{x-3y}$

При условии, что $x-3y \neq 0$, дробь равна 1:

$\frac{x-3y}{x-3y} = 1$

Ответ: $1$

516. а) $ \frac{x}{8} - \frac{x}{4} $;

б) $ \frac{a}{6} + \frac{a}{8} $;

В) $ \frac{m^2}{3} - \frac{2m}{2} $;

Г) $ \frac{a-1}{10} + \frac{a}{15} $;

Д) $ \frac{2x+3}{6} + \frac{x-1}{8} $;

е) $ \frac{a-3}{10} - \frac{2-a}{15} $.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{x}{8} - \frac{x}{4}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 4 это 8. Дополнительный множитель для второй дроби равен $8 / 4 = 2$.
$\frac{x}{8} - \frac{x}{4} = \frac{x}{8} - \frac{x \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{x}{8} - \frac{2x}{8} = \frac{x - 2x}{8} = \frac{-x}{8} = -\frac{x}{8}$.
Ответ: $-\frac{x}{8}$.

б) Чтобы сложить дроби $\frac{a}{6} + \frac{a}{8}$, найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 8. Это 24. Дополнительный множитель для первой дроби: $24 / 6 = 4$. Для второй дроби: $24 / 8 = 3$.
$\frac{a}{6} + \frac{a}{8} = \frac{a \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{a \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{4a}{24} + \frac{3a}{24} = \frac{4a + 3a}{24} = \frac{7a}{24}$.
Ответ: $\frac{7a}{24}$.

в) Чтобы вычесть дроби $\frac{m^2}{3} - \frac{2m}{2}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 2 это 6. Дополнительный множитель для первой дроби: $6 / 3 = 2$. Для второй дроби: $6 / 2 = 3$.
$\frac{m^2}{3} - \frac{2m}{2} = \frac{m^2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{2m \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{2m^2}{6} - \frac{6m}{6} = \frac{2m^2 - 6m}{6} = \frac{2(m^2 - 3m)}{2 \cdot 3} = \frac{m^2 - 3m}{3}$.
Ответ: $\frac{m^2 - 3m}{3}$.

г) Чтобы сложить дроби $\frac{a-1}{10} + \frac{a}{15}$, найдем наименьший общий знаменатель для 10 и 15. Это 30. Дополнительный множитель для первой дроби: $30 / 10 = 3$. Для второй дроби: $30 / 15 = 2$.
$\frac{a-1}{10} + \frac{a}{15} = \frac{3(a-1)}{30} + \frac{2a}{30} = \frac{3a - 3 + 2a}{30} = \frac{5a - 3}{30}$.
Ответ: $\frac{5a - 3}{30}$.

д) Чтобы сложить дроби $\frac{2x+3}{6} + \frac{x-1}{8}$, найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 8. Это 24. Дополнительный множитель для первой дроби: $24 / 6 = 4$. Для второй дроби: $24 / 8 = 3$.
$\frac{2x+3}{6} + \frac{x-1}{8} = \frac{4(2x+3)}{24} + \frac{3(x-1)}{24} = \frac{8x + 12 + 3x - 3}{24} = \frac{11x + 9}{24}$.
Ответ: $\frac{11x + 9}{24}$.

е) Чтобы вычесть дроби $\frac{a-3}{10} - \frac{2-a}{15}$, найдем наименьший общий знаменатель для 10 и 15. Это 30. Дополнительный множитель для первой дроби: $30 / 10 = 3$. Для второй дроби: $30 / 15 = 2$.
$\frac{a-3}{10} - \frac{2-a}{15} = \frac{3(a-3)}{30} - \frac{2(2-a)}{30} = \frac{3a - 9 - (4 - 2a)}{30} = \frac{3a - 9 - 4 + 2a}{30} = \frac{5a - 13}{30}$.
Ответ: $\frac{5a - 13}{30}$.

517. а) $ \frac{1}{4x} - \frac{1}{3x}; $

б) $ \frac{1}{m} + \frac{5}{4m}; $

В) $ \frac{2}{p} + \frac{3}{pq}; $

Г) $ \frac{a}{xy} - \frac{b}{x}; $

Д) $ \frac{m}{n^2} - \frac{1}{mn}; $

е) $ \frac{a}{3b^2} + \frac{8}{2ab}. $

а)

Чтобы вычесть дроби $\frac{1}{4x}$ и $\frac{1}{3x}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $4x$ и $3x$ — это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. НОК(4, 3) = 12. Значит, общий знаменатель — $12x$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{12x}{4x} = 3$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{12x}{3x} = 4$.

Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель: $\frac{1}{4x} - \frac{1}{3x} = \frac{1 \cdot 3}{4x \cdot 3} - \frac{1 \cdot 4}{3x \cdot 4} = \frac{3}{12x} - \frac{4}{12x}$

Теперь вычитаем числители, а знаменатель оставляем прежним: $\frac{3 - 4}{12x} = \frac{-1}{12x} = -\frac{1}{12x}$

Ответ: $-\frac{1}{12x}$

б)

Чтобы сложить дроби $\frac{1}{m}$ и $\frac{5}{4m}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $m$ и $4m$ — это $4m$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{4m}{m} = 4$. Вторая дробь уже имеет общий знаменатель, ее дополнительный множитель равен 1.

Приводим первую дробь к общему знаменателю: $\frac{1}{m} + \frac{5}{4m} = \frac{1 \cdot 4}{m \cdot 4} + \frac{5}{4m} = \frac{4}{4m} + \frac{5}{4m}$

Складываем числители: $\frac{4 + 5}{4m} = \frac{9}{4m}$

Ответ: $\frac{9}{4m}$

в)

Для сложения дробей $\frac{2}{p}$ и $\frac{3}{pq}$ найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для $p$ и $pq$ — это $pq$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{pq}{p} = q$. Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель.

Выполняем преобразование и сложение: $\frac{2}{p} + \frac{3}{pq} = \frac{2 \cdot q}{p \cdot q} + \frac{3}{pq} = \frac{2q}{pq} + \frac{3}{pq} = \frac{2q+3}{pq}$

Ответ: $\frac{2q+3}{pq}$

г)

Чтобы выполнить вычитание $\frac{a}{xy} - \frac{b}{x}$, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для $xy$ и $x$ — это $xy$.

Первая дробь уже имеет нужный знаменатель. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{xy}{x} = y$.

Приводим вторую дробь к общему знаменателю и выполняем вычитание: $\frac{a}{xy} - \frac{b}{x} = \frac{a}{xy} - \frac{b \cdot y}{x \cdot y} = \frac{a}{xy} - \frac{by}{xy} = \frac{a - by}{xy}$

Ответ: $\frac{a - by}{xy}$

д)

Рассмотрим вычитание дробей $\frac{m}{n^2} - \frac{1}{mn}$. Общий знаменатель для $n^2$ и $mn$ — это $mn^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{mn^2}{n^2} = m$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{mn^2}{mn} = n$.

Умножаем числители на дополнительные множители и вычитаем: $\frac{m}{n^2} - \frac{1}{mn} = \frac{m \cdot m}{n^2 \cdot m} - \frac{1 \cdot n}{mn \cdot n} = \frac{m^2}{mn^2} - \frac{n}{mn^2} = \frac{m^2 - n}{mn^2}$

Ответ: $\frac{m^2 - n}{mn^2}$

е)

Для сложения дробей $\frac{a}{3b^2} + \frac{8}{2ab}$ сначала найдем общий знаменатель. Знаменатели: $3b^2$ и $2ab$. НОК коэффициентов 3 и 2 равно 6. Общая часть переменных — $ab^2$. Таким образом, общий знаменатель равен $6ab^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{6ab^2}{3b^2} = 2a$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{6ab^2}{2ab} = 3b$.

Приводим дроби к общему знаменателю и складываем: $\frac{a \cdot 2a}{3b^2 \cdot 2a} + \frac{8 \cdot 3b}{2ab \cdot 3b} = \frac{2a^2}{6ab^2} + \frac{24b}{6ab^2} = \frac{2a^2 + 24b}{6ab^2}$

Теперь упростим полученную дробь, вынеся общий множитель 2 в числителе за скобки: $\frac{2(a^2 + 12b)}{6ab^2}$.

Сокращаем дробь на 2: $\frac{a^2 + 12b}{3ab^2}$.

Ответ: $\frac{a^2 + 12b}{3ab^2}$

518. a) $\frac{m}{ab} + \frac{m}{ac}$;

б) $\frac{2a}{mn} - \frac{5a}{mb}$;

B) $\frac{2a-3b}{m} + \frac{4a-5b^2}{mb}$;

Г) $\frac{x-y}{xy} - \frac{x-z}{xz}$.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{m}{ab} + \frac{m}{ac}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $ab$ и $ac$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них — это $abc$.

Найдём дополнительные множители для каждой дроби:

• для дроби $\frac{m}{ab}$ дополнительный множитель равен $c$;
• для дроби $\frac{m}{ac}$ дополнительный множитель равен $b$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель и выполним сложение:

$\frac{m}{ab} + \frac{m}{ac} = \frac{m \cdot c}{ab \cdot c} + \frac{m \cdot b}{ac \cdot b} = \frac{mc}{abc} + \frac{mb}{abc} = \frac{mc + mb}{abc}$

В числителе можно вынести за скобки общий множитель $m$:

$\frac{m(c + b)}{abc}$

Ответ: $\frac{m(b+c)}{abc}$

б) Чтобы вычесть дроби $\frac{2a}{mn} - \frac{5a}{mb}$, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $mn$ и $mb$. НОЗ для них — $mnb$.

Дополнительные множители:

• для дроби $\frac{2a}{mn}$ — это $b$;
• для дроби $\frac{5a}{mb}$ — это $n$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{2a}{mn} - \frac{5a}{mb} = \frac{2a \cdot b}{mn \cdot b} - \frac{5a \cdot n}{mb \cdot n} = \frac{2ab}{mnb} - \frac{5an}{mnb} = \frac{2ab - 5an}{mnb}$

Вынесем в числителе общий множитель $a$ за скобки:

$\frac{a(2b - 5n)}{mnb}$

Ответ: $\frac{a(2b-5n)}{mnb}$

в) Чтобы сложить дроби $\frac{2a - 3b}{m} + \frac{4a - 5b^2}{mb}$, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $m$ и $mb$. НОЗ для них — $mb$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{2a - 3b}{m}$ — это $b$. Вторая дробь уже имеет требуемый знаменатель.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$ и выполним сложение:

$\frac{(2a - 3b) \cdot b}{m \cdot b} + \frac{4a - 5b^2}{mb} = \frac{2ab - 3b^2}{mb} + \frac{4a - 5b^2}{mb}$

Теперь сложим числители:

$\frac{2ab - 3b^2 + 4a - 5b^2}{mb}$

Приведем подобные слагаемые в числителе ($ -3b^2 $ и $ -5b^2 $):

$\frac{2ab + 4a - 8b^2}{mb}$

Ответ: $\frac{2ab+4a-8b^2}{mb}$

г) Чтобы вычесть дроби $\frac{x - y}{xy} - \frac{x - z}{xz}$, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $xy$ и $xz$. НОЗ для них — $xyz$.

Дополнительные множители:

• для дроби $\frac{x - y}{xy}$ — это $z$;
• для дроби $\frac{x - z}{xz}$ — это $y$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание. Важно обратить внимание на знак минус перед второй дробью.

$\frac{(x - y) \cdot z}{xy \cdot z} - \frac{(x - z) \cdot y}{xz \cdot y} = \frac{xz - yz}{xyz} - \frac{xy - zy}{xyz} = \frac{(xz - yz) - (xy - zy)}{xyz}$

Раскроем скобки в числителе, меняя знаки:

$\frac{xz - yz - xy + zy}{xyz}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $-yz$ и $+zy$ взаимно уничтожаются.

$\frac{xz - xy}{xyz}$

Вынесем общий множитель $x$ в числителе за скобки:

$\frac{x(z - y)}{xyz}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $x$:

$\frac{z-y}{yz}$

Ответ: $\frac{z-y}{yz}$

519. a) $ \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3}; $

б) $ \frac{7}{m^4} - \frac{3a}{m^2}; $

в) $ \frac{1}{a^5b^3} + \frac{1}{ab^7}; $

г) $ \frac{4}{x^4b^3} - \frac{3}{x^2b^5}; $

д) $ \frac{3a}{x^7y^5z} - \frac{3b}{xy^4z^5}; $

е) $ \frac{m^7n}{a^4b^3c^9} + \frac{3mn^2}{a^3b^6c^4}. $

а)

Дано выражение $\frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3}$. Чтобы вычесть эти дроби, их нужно привести к общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $x^2$ и $x^3$ - это $x^3$, так как это наименьшая степень, которая делится на $x^2$ и на $x^3$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{2}{x^2}$ равен $\frac{x^3}{x^2} = x$.

Вторая дробь $\frac{3}{x^3}$ уже имеет нужный знаменатель.

Приводим первую дробь к знаменателю $x^3$: $\frac{2 \cdot x}{x^2 \cdot x} = \frac{2x}{x^3}$.

Теперь выполняем вычитание: $\frac{2x}{x^3} - \frac{3}{x^3} = \frac{2x - 3}{x^3}$.

Ответ: $\frac{2x - 3}{x^3}$

б)

Дано выражение $\frac{7}{m^4} - \frac{3a}{m^2}$. Приведем дроби к общему знаменателю.

НОЗ для $m^4$ и $m^2$ - это $m^4$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{3a}{m^2}$ равен $\frac{m^4}{m^2} = m^2$. Первая дробь уже имеет нужный знаменатель.

Приводим вторую дробь к знаменателю $m^4$: $\frac{3a \cdot m^2}{m^2 \cdot m^2} = \frac{3am^2}{m^4}$.

Выполняем вычитание: $\frac{7}{m^4} - \frac{3am^2}{m^4} = \frac{7 - 3am^2}{m^4}$.

Ответ: $\frac{7 - 3am^2}{m^4}$

в)

Дано выражение $\frac{1}{a^5b^3} + \frac{1}{ab^7}$. Приведем дроби к общему знаменателю.

НОЗ для $a^5b^3$ и $ab^7$ находится путем взятия каждой переменной в наивысшей степени. НОЗ = $a^5b^7$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1}{a^5b^3}$ равен $\frac{a^5b^7}{a^5b^3} = b^4$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1}{ab^7}$ равен $\frac{a^5b^7}{ab^7} = a^4$.

Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{1 \cdot b^4}{a^5b^3 \cdot b^4} + \frac{1 \cdot a^4}{ab^7 \cdot a^4} = \frac{b^4}{a^5b^7} + \frac{a^4}{a^5b^7}$.

Выполняем сложение: $\frac{b^4 + a^4}{a^5b^7}$.

Ответ: $\frac{a^4 + b^4}{a^5b^7}$

г)

Дано выражение $\frac{4}{x^4b^3} - \frac{3}{x^2b^5}$. Приведем дроби к общему знаменателю.

НОЗ для $x^4b^3$ и $x^2b^5$ равен $x^4b^5$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{4}{x^4b^3}$ равен $\frac{x^4b^5}{x^4b^3} = b^2$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{3}{x^2b^5}$ равен $\frac{x^4b^5}{x^2b^5} = x^2$.

Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{4 \cdot b^2}{x^4b^3 \cdot b^2} - \frac{3 \cdot x^2}{x^2b^5 \cdot x^2} = \frac{4b^2}{x^4b^5} - \frac{3x^2}{x^4b^5}$.

Выполняем вычитание: $\frac{4b^2 - 3x^2}{x^4b^5}$.

Ответ: $\frac{4b^2 - 3x^2}{x^4b^5}$

д)

Дано выражение $\frac{3a}{x^7y^5z} - \frac{3b}{xy^4z^5}$. Приведем дроби к общему знаменателю.

НОЗ для $x^7y^5z$ и $xy^4z^5$ равен $x^7y^5z^5$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{3a}{x^7y^5z}$ равен $\frac{x^7y^5z^5}{x^7y^5z} = z^4$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{3b}{xy^4z^5}$ равен $\frac{x^7y^5z^5}{xy^4z^5} = x^6y$.

Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{3a \cdot z^4}{x^7y^5z \cdot z^4} - \frac{3b \cdot x^6y}{xy^4z^5 \cdot x^6y} = \frac{3az^4}{x^7y^5z^5} - \frac{3bx^6y}{x^7y^5z^5}$.

Выполняем вычитание: $\frac{3az^4 - 3bx^6y}{x^7y^5z^5}$. Можно вынести общий множитель 3 в числителе: $\frac{3(az^4 - bx^6y)}{x^7y^5z^5}$.

Ответ: $\frac{3az^4 - 3bx^6y}{x^7y^5z^5}$

е)

Дано выражение $\frac{m^7n}{a^4b^3c^9} + \frac{3mn^2}{a^3b^6c^4}$. Приведем дроби к общему знаменателю.

НОЗ для $a^4b^3c^9$ и $a^3b^6c^4$ равен $a^4b^6c^9$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{m^7n}{a^4b^3c^9}$ равен $\frac{a^4b^6c^9}{a^4b^3c^9} = b^3$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{3mn^2}{a^3b^6c^4}$ равен $\frac{a^4b^6c^9}{a^3b^6c^4} = ac^5$.

Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{m^7n \cdot b^3}{a^4b^3c^9 \cdot b^3} + \frac{3mn^2 \cdot ac^5}{a^3b^6c^4 \cdot ac^5} = \frac{m^7nb^3}{a^4b^6c^9} + \frac{3amn^2c^5}{a^4b^6c^9}$.

Выполняем сложение: $\frac{m^7nb^3 + 3amn^2c^5}{a^4b^6c^9}$. В числителе можно вынести за скобки общий множитель $mn$: $\frac{mn(m^6b^3 + 3anc^5)}{a^4b^6c^9}$.

Ответ: $\frac{m^7nb^3 + 3amn^2c^5}{a^4b^6c^9}$

520. а) $\frac{1}{2a - 2} + \frac{2}{4a - 4}$;

б) $\frac{7a}{3x + 3} - \frac{a}{6x + 6}$;

в) $\frac{2m}{4m + 4n} + \frac{4n}{8m + 8n}$;

г) $\frac{2p}{10p - 10q} - \frac{3q}{15p - 15q}$;

д) $\frac{2x}{ax + bx} + \frac{3y}{ay + by}$;

е) $\frac{y}{ax - bx} - \frac{x}{ay - by}$;

ж) $\frac{1}{2x^2y - xy} + \frac{2}{y - 2xy}$;

з) $\frac{3}{3m^2n - 6mn^2} - \frac{2}{4mn - 2m^2}$;

и) $\frac{15}{10p^3q - 15p^2q^2} - \frac{6q}{9pq^3 - 6p^2q^2}$;

к) $\frac{3b}{2a^3b - 8a^2b^2} - \frac{5a}{12a^3b - 3a^4}$.

а) $\frac{1}{2a-2} + \frac{2}{4a-4}$
Сначала разложим знаменатели на множители: $2a-2 = 2(a-1)$ и $4a-4 = 4(a-1)$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей равен $4(a-1)$.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:
$\frac{1}{2(a-1)} + \frac{2}{4(a-1)} = \frac{1 \cdot 2}{2(a-1) \cdot 2} + \frac{2}{4(a-1)} = \frac{2}{4(a-1)} + \frac{2}{4(a-1)} = \frac{2+2}{4(a-1)} = \frac{4}{4(a-1)}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{4}{4(a-1)} = \frac{1}{a-1}$
Ответ: $\frac{1}{a-1}$

б) $\frac{7a}{3x+3} - \frac{a}{6x+6}$
Разложим знаменатели на множители: $3x+3=3(x+1)$ и $6x+6=6(x+1)$.
НОЗ равен $6(x+1)$.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:
$\frac{7a}{3(x+1)} - \frac{a}{6(x+1)} = \frac{7a \cdot 2}{3(x+1) \cdot 2} - \frac{a}{6(x+1)} = \frac{14a}{6(x+1)} - \frac{a}{6(x+1)} = \frac{14a-a}{6(x+1)} = \frac{13a}{6(x+1)}$
Ответ: $\frac{13a}{6(x+1)}$

в) $\frac{2m}{4m+4n} + \frac{4n}{8m+8n}$
Разложим знаменатели: $4m+4n = 4(m+n)$ и $8m+8n = 8(m+n)$.
Упростим каждую дробь перед сложением:$\frac{2m}{4(m+n)} = \frac{m}{2(m+n)}$ и $\frac{4n}{8(m+n)} = \frac{n}{2(m+n)}$.
Теперь сложим упрощенные дроби:
$\frac{m}{2(m+n)} + \frac{n}{2(m+n)} = \frac{m+n}{2(m+n)} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) $\frac{2p}{10p-10q} - \frac{3q}{15p-15q}$
Разложим знаменатели: $10p-10q = 10(p-q)$ и $15p-15q = 15(p-q)$.
НОЗ равен $30(p-q)$.
Приведем дроби к общему знаменателю и вычтем:
$\frac{2p}{10(p-q)} - \frac{3q}{15(p-q)} = \frac{2p \cdot 3}{10(p-q) \cdot 3} - \frac{3q \cdot 2}{15(p-q) \cdot 2} = \frac{6p}{30(p-q)} - \frac{6q}{30(p-q)} = \frac{6p-6q}{30(p-q)}$
Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:
$\frac{6(p-q)}{30(p-q)} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$

д) $\frac{2x}{ax+bx} + \frac{3y}{ay+by}$
Разложим знаменатели: $ax+bx = x(a+b)$ и $ay+by = y(a+b)$.
Упростим каждую дробь: $\frac{2x}{x(a+b)} = \frac{2}{a+b}$ и $\frac{3y}{y(a+b)} = \frac{3}{a+b}$.
Сложим полученные дроби:
$\frac{2}{a+b} + \frac{3}{a+b} = \frac{2+3}{a+b} = \frac{5}{a+b}$
Ответ: $\frac{5}{a+b}$

е) $\frac{y}{ax-bx} - \frac{x}{ay-by}$
Разложим знаменатели на множители: $ax-bx = x(a-b)$ и $ay-by = y(a-b)$.
НОЗ равен $xy(a-b)$.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:
$\frac{y}{x(a-b)} - \frac{x}{y(a-b)} = \frac{y \cdot y}{x(a-b) \cdot y} - \frac{x \cdot x}{y(a-b) \cdot x} = \frac{y^2}{xy(a-b)} - \frac{x^2}{xy(a-b)} = \frac{y^2-x^2}{xy(a-b)}$
Числитель можно разложить по формуле разности квадратов: $y^2-x^2 = (y-x)(y+x)$.
$\frac{(y-x)(y+x)}{xy(a-b)}$
Ответ: $\frac{y^2-x^2}{xy(a-b)}$

ж) $\frac{1}{2x^2y-xy} + \frac{2}{y-2xy}$
Разложим знаменатели: $2x^2y-xy = xy(2x-1)$ и $y-2xy = y(1-2x) = -y(2x-1)$.
Перепишем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя:
$\frac{2}{y-2xy} = \frac{2}{-y(2x-1)} = -\frac{2}{y(2x-1)}$
Выражение примет вид: $\frac{1}{xy(2x-1)} - \frac{2}{y(2x-1)}$.
НОЗ равен $xy(2x-1)$.
Приведем дроби к НОЗ и вычтем:
$\frac{1}{xy(2x-1)} - \frac{2 \cdot x}{y(2x-1) \cdot x} = \frac{1}{xy(2x-1)} - \frac{2x}{xy(2x-1)} = \frac{1-2x}{xy(2x-1)}$
Упростим результат: $\frac{-(2x-1)}{xy(2x-1)} = -\frac{1}{xy}$
Ответ: $-\frac{1}{xy}$

з) $\frac{3}{3m^2n-6mn^2} - \frac{2}{4mn-2m^2}$
Разложим знаменатели: $3m^2n-6mn^2 = 3mn(m-2n)$ и $4mn-2m^2 = 2m(2n-m) = -2m(m-2n)$.
Упростим первую дробь: $\frac{3}{3mn(m-2n)} = \frac{1}{mn(m-2n)}$.
Перепишем вторую дробь: $\frac{2}{4mn-2m^2} = \frac{2}{-2m(m-2n)} = -\frac{1}{m(m-2n)}$.
Выражение примет вид: $\frac{1}{mn(m-2n)} - (-\frac{1}{m(m-2n)}) = \frac{1}{mn(m-2n)} + \frac{1}{m(m-2n)}$.
НОЗ равен $mn(m-2n)$.
Приведем дроби к НОЗ и сложим:
$\frac{1}{mn(m-2n)} + \frac{1 \cdot n}{m(m-2n) \cdot n} = \frac{1}{mn(m-2n)} + \frac{n}{mn(m-2n)} = \frac{1+n}{mn(m-2n)}$
Ответ: $\frac{1+n}{mn(m-2n)}$

и) $\frac{15}{10p^3q - 15p^2q^2} - \frac{6q}{9pq^3 - 6p^2q^2}$
Разложим знаменатели: $10p^3q - 15p^2q^2 = 5p^2q(2p-3q)$ и $9pq^3 - 6p^2q^2 = 3pq^2(3q-2p) = -3pq^2(2p-3q)$.
Упростим первую дробь: $\frac{15}{5p^2q(2p-3q)} = \frac{3}{p^2q(2p-3q)}$.
Перепишем и упростим вторую дробь: $\frac{6q}{-3pq^2(2p-3q)} = -\frac{2}{pq(2p-3q)}$.
Выражение примет вид: $\frac{3}{p^2q(2p-3q)} - (-\frac{2}{pq(2p-3q)}) = \frac{3}{p^2q(2p-3q)} + \frac{2}{pq(2p-3q)}$.
НОЗ равен $p^2q(2p-3q)$.
$\frac{3}{p^2q(2p-3q)} + \frac{2 \cdot p}{pq(2p-3q) \cdot p} = \frac{3}{p^2q(2p-3q)} + \frac{2p}{p^2q(2p-3q)} = \frac{3+2p}{p^2q(2p-3q)}$
Ответ: $\frac{2p+3}{p^2q(2p-3q)}$

к) $\frac{3b}{2a^3b - 8a^2b^2} - \frac{5a}{12a^3b - 3a^4}$
Разложим знаменатели: $2a^3b - 8a^2b^2 = 2a^2b(a-4b)$ и $12a^3b - 3a^4 = 3a^3(4b-a) = -3a^3(a-4b)$.
Упростим первую дробь: $\frac{3b}{2a^2b(a-4b)} = \frac{3}{2a^2(a-4b)}$.
Перепишем и упростим вторую дробь: $\frac{5a}{-3a^3(a-4b)} = -\frac{5}{3a^2(a-4b)}$.
Выражение примет вид: $\frac{3}{2a^2(a-4b)} - (-\frac{5}{3a^2(a-4b)}) = \frac{3}{2a^2(a-4b)} + \frac{5}{3a^2(a-4b)}$.
НОЗ равен $6a^2(a-4b)$.
$\frac{3 \cdot 3}{2a^2(a-4b) \cdot 3} + \frac{5 \cdot 2}{3a^2(a-4b) \cdot 2} = \frac{9}{6a^2(a-4b)} + \frac{10}{6a^2(a-4b)} = \frac{9+10}{6a^2(a-4b)} = \frac{19}{6a^2(a-4b)}$
Ответ: $\frac{19}{6a^2(a-4b)}$

521. a) $ \frac{2a}{a^2 - 9} + \frac{3}{a - 3}; $

Б) $ \frac{5}{m + n} - \frac{4n}{m^2 - n^2}; $

В) $ \frac{x}{4 - 9x^2} + \frac{1}{3x + 2}; $

Г) $ \frac{1}{2p + 4q} - \frac{q}{4q^2 - p^2}; $

Д) $ \frac{1}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b}{a^3 - b^3}; $

е) $ \frac{m^2 + n^2}{m^3 + n^3} - \frac{1}{2(m + n)}; $

Ж) $ \frac{x^2 - 2xy}{(x - 2y)^3} + \frac{1}{2y - x}; $

З) $ \frac{2(p + q)}{p^3 - q^3} + \frac{3}{q^2 - p^2}. $

а) $\frac{2a}{a^2 - 9} + \frac{3}{a - 3}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{2a}{(a - 3)(a + 3)} + \frac{3}{a - 3}$

Общий знаменатель для этих дробей - $(a - 3)(a + 3)$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(a + 3)$:

$\frac{2a}{(a - 3)(a + 3)} + \frac{3(a + 3)}{(a - 3)(a + 3)}$

Сложим дроби:

$\frac{2a + 3(a + 3)}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{2a + 3a + 9}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{5a + 9}{(a - 3)(a + 3)}$

Ответ: $\frac{5a + 9}{a^2 - 9}$

б) $\frac{5}{m + n} - \frac{4n}{m^2 - n^2}$

Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов:

$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$

Выражение принимает вид:

$\frac{5}{m + n} - \frac{4n}{(m - n)(m + n)}$

Общий знаменатель - $(m - n)(m + n)$. Домножим первую дробь на $(m - n)$:

$\frac{5(m - n)}{(m - n)(m + n)} - \frac{4n}{(m - n)(m + n)}$

Выполним вычитание:

$\frac{5(m - n) - 4n}{(m - n)(m + n)} = \frac{5m - 5n - 4n}{(m - n)(m + n)} = \frac{5m - 9n}{(m - n)(m + n)}$

Ответ: $\frac{5m - 9n}{m^2 - n^2}$

в) $\frac{x}{4 - 9x^2} + \frac{1}{3x + 2}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители:

$4 - 9x^2 = (2 - 3x)(2 + 3x)$

Выражение принимает вид:

$\frac{x}{(2 - 3x)(2 + 3x)} + \frac{1}{2 + 3x}$

Общий знаменатель - $(2 - 3x)(2 + 3x)$. Домножим вторую дробь на $(2 - 3x)$:

$\frac{x}{(2 - 3x)(2 + 3x)} + \frac{1(2 - 3x)}{(2 + 3x)(2 - 3x)}$

Сложим дроби:

$\frac{x + (2 - 3x)}{(2 - 3x)(2 + 3x)} = \frac{x + 2 - 3x}{(2 - 3x)(2 + 3x)} = \frac{2 - 2x}{4 - 9x^2}$

Ответ: $\frac{2 - 2x}{4 - 9x^2}$

г) $\frac{1}{2p + 4q} - \frac{q}{4q^2 - p^2}$

Разложим на множители знаменатели обеих дробей:

$2p + 4q = 2(p + 2q)$

$4q^2 - p^2 = (2q - p)(2q + p)$

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{2(p + 2q)} - \frac{q}{(2q - p)(2q + p)}$

Общий знаменатель - $2(p + 2q)(2q - p)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (2q - p)}{2(p + 2q)(2q - p)} - \frac{q \cdot 2}{2(2q - p)(p + 2q)}$

Выполним вычитание:

$\frac{2q - p - 2q}{2(p + 2q)(2q - p)} = \frac{-p}{2(2q + p)(2q - p)} = \frac{-p}{2(4q^2 - p^2)}$

Можно изменить знак в числителе и знаменателе:

$\frac{p}{2(p^2 - 4q^2)}$

Ответ: $\frac{p}{2(p^2 - 4q^2)}$

д) $\frac{1}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b}{a^3 - b^3}$

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$\frac{1}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}$

Общий знаменатель - $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Домножим первую дробь на $(a - b)$:

$\frac{1(a - b)}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} + \frac{b}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}$

Сложим дроби:

$\frac{a - b + b}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} = \frac{a}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} = \frac{a}{a^3 - b^3}$

Ответ: $\frac{a}{a^3 - b^3}$

е) $\frac{m^2 + n^2}{m^3 + n^3} - \frac{1}{2(m + n)}$

Разложим знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов $m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$:

$\frac{m^2 + n^2}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)} - \frac{1}{2(m + n)}$

Общий знаменатель - $2(m + n)(m^2 - mn + n^2)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2(m^2 + n^2)}{2(m + n)(m^2 - mn + n^2)} - \frac{1(m^2 - mn + n^2)}{2(m + n)(m^2 - mn + n^2)}$

Выполним вычитание:

$\frac{2(m^2 + n^2) - (m^2 - mn + n^2)}{2(m^3 + n^3)} = \frac{2m^2 + 2n^2 - m^2 + mn - n^2}{2(m^3 + n^3)} = \frac{m^2 + mn + n^2}{2(m^3 + n^3)}$

Ответ: $\frac{m^2 + mn + n^2}{2(m^3 + n^3)}$

ж) $\frac{x^2 - 2xy}{(x - 2y)^3} + \frac{1}{2y - x}$

Сначала упростим первую дробь, вынеся в числителе общий множитель $x$ и сократив:

$\frac{x(x - 2y)}{(x - 2y)^3} = \frac{x}{(x - 2y)^2}$

Теперь изменим знак в знаменателе второй дроби:

$\frac{1}{2y - x} = \frac{1}{-(x - 2y)} = -\frac{1}{x - 2y}$

Выражение принимает вид:

$\frac{x}{(x - 2y)^2} - \frac{1}{x - 2y}$

Общий знаменатель - $(x - 2y)^2$. Домножим вторую дробь на $(x - 2y)$:

$\frac{x}{(x - 2y)^2} - \frac{1(x - 2y)}{(x - 2y)^2}$

Выполним вычитание:

$\frac{x - (x - 2y)}{(x - 2y)^2} = \frac{x - x + 2y}{(x - 2y)^2} = \frac{2y}{(x - 2y)^2}$

Ответ: $\frac{2y}{(x - 2y)^2}$

з) $\frac{2(p + q)}{p^3 - q^3} + \frac{3}{q^2 - p^2}$

Разложим знаменатели на множители:

$p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)$

$q^2 - p^2 = (q - p)(q + p) = -(p - q)(p + q)$

Подставим разложенные знаменатели в выражение и изменим знак второй дроби:

$\frac{2(p + q)}{(p - q)(p^2 + pq + q^2)} - \frac{3}{(p - q)(p + q)}$

Общий знаменатель - $(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{2(p + q)(p + q)}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)} - \frac{3(p^2 + pq + q^2)}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)}$

Выполним вычитание в числителе:

$\frac{2(p + q)^2 - 3(p^2 + pq + q^2)}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)} = \frac{2(p^2 + 2pq + q^2) - 3p^2 - 3pq - 3q^2}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)}$

Упростим числитель:

$2p^2 + 4pq + 2q^2 - 3p^2 - 3pq - 3q^2 = -p^2 + pq - q^2 = -(p^2 - pq + q^2)$

Запишем итоговую дробь:

$\frac{-(p^2 - pq + q^2)}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)}$

Ответ: $\frac{-(p^2 - pq + q^2)}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)}$