Страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

538. а) $\frac{a - 1}{2a} \cdot \left(\frac{a + 3}{a + 1} - \frac{a^2 - 5}{a^2 - 1}\right)$;

б) $\left(\frac{c + 3}{c - 3} - \frac{c}{c + 3}\right) \cdot \frac{c - 3}{c + 1}$;

в) $\left(\frac{14 + a^2}{a^2 - 4} - \frac{a - 4}{a + 2}\right) \cdot \frac{a - 2}{6}$;

г) $\left(\frac{a}{a - 4} - \frac{a - 4}{a + 4}\right) \cdot \frac{a + 4}{4}$;

д) $\left(\frac{y + 1}{y - 1} - \frac{y - 1}{y + 1}\right) \cdot \frac{y + 1}{4y}$;

е) $\left(\frac{1 + a}{1 - a} - \frac{1 - a}{1 + a}\right) : \frac{2a}{1 - a}$;

ж) $\frac{4y}{y - 1} \cdot \left(\frac{y}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8y}\right)$;

з) $\left(\frac{a}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6a}\right) : \frac{a + 1}{12a}$.

а) $ \frac{a-1}{2a} \cdot \left( \frac{a+3}{a+1} - \frac{a^2-5}{a^2-1} \right) $

1. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $ a^2-1 = (a-1)(a+1) $. Это и будет общий знаменатель.

$ \frac{a+3}{a+1} - \frac{a^2-5}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a+3)(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \frac{a^2-5}{(a-1)(a+1)} $

2. Выполним вычитание в числителе:

$ \frac{a^2-a+3a-3-(a^2-5)}{(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a-3-a^2+5}{(a-1)(a+1)} = \frac{2a+2}{(a-1)(a+1)} $

3. Вынесем общий множитель 2 в числителе и сократим дробь:

$ \frac{2(a+1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{2}{a-1} $

4. Теперь умножим полученную дробь на множитель перед скобками:

$ \frac{a-1}{2a} \cdot \frac{2}{a-1} = \frac{(a-1) \cdot 2}{2a \cdot (a-1)} = \frac{1}{a} $

Ответ: $ \frac{1}{a} $

б) $ \left( \frac{c+3}{c-3} - \frac{c}{c+3} \right) \cdot \frac{c-3}{c+1} $

1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ (c-3)(c+3) $:

$ \frac{(c+3)(c+3)}{(c-3)(c+3)} - \frac{c(c-3)}{(c-3)(c+3)} = \frac{(c+3)^2 - c(c-3)}{(c-3)(c+3)} $

2. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{c^2+6c+9 - (c^2-3c)}{(c-3)(c+3)} = \frac{c^2+6c+9-c^2+3c}{(c-3)(c+3)} = \frac{9c+9}{(c-3)(c+3)} = \frac{9(c+1)}{(c-3)(c+3)} $

3. Умножим результат на вторую дробь и сократим:

$ \frac{9(c+1)}{(c-3)(c+3)} \cdot \frac{c-3}{c+1} = \frac{9(c+1)(c-3)}{(c-3)(c+3)(c+1)} = \frac{9}{c+3} $

Ответ: $ \frac{9}{c+3} $

в) $ \left( \frac{14+a^2}{a^2-4} - \frac{a-4}{a+2} \right) \cdot \frac{a-2}{6} $

1. В скобках приведем дроби к общему знаменателю $ a^2-4 = (a-2)(a+2) $:

$ \frac{14+a^2}{(a-2)(a+2)} - \frac{(a-4)(a-2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{14+a^2 - (a^2-2a-4a+8)}{(a-2)(a+2)} $

2. Упростим числитель:

$ \frac{14+a^2 - (a^2-6a+8)}{(a-2)(a+2)} = \frac{14+a^2-a^2+6a-8}{(a-2)(a+2)} = \frac{6a+6}{(a-2)(a+2)} = \frac{6(a+1)}{(a-2)(a+2)} $

3. Умножим на вторую дробь:

$ \frac{6(a+1)}{(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a-2}{6} = \frac{6(a+1)(a-2)}{6(a-2)(a+2)} = \frac{a+1}{a+2} $

Ответ: $ \frac{a+1}{a+2} $

г) $ \left( \frac{a}{a-4} - \frac{a-4}{a+4} \right) \cdot \frac{a+4}{4} $

1. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ (a-4)(a+4) $:

$ \frac{a(a+4)}{(a-4)(a+4)} - \frac{(a-4)(a-4)}{(a+4)(a-4)} = \frac{a(a+4)-(a-4)^2}{(a-4)(a+4)} $

2. Упростим числитель:

$ \frac{a^2+4a-(a^2-8a+16)}{(a-4)(a+4)} = \frac{a^2+4a-a^2+8a-16}{(a-4)(a+4)} = \frac{12a-16}{(a-4)(a+4)} = \frac{4(3a-4)}{(a-4)(a+4)} $

3. Умножим результат на вторую дробь:

$ \frac{4(3a-4)}{(a-4)(a+4)} \cdot \frac{a+4}{4} = \frac{4(3a-4)(a+4)}{4(a-4)(a+4)} = \frac{3a-4}{a-4} $

Ответ: $ \frac{3a-4}{a-4} $

д) $ \left( \frac{y+1}{y-1} - \frac{y-1}{y+1} \right) \cdot \frac{y+1}{4y} $

1. В скобках приведем дроби к общему знаменателю $ (y-1)(y+1) $:

$ \frac{(y+1)^2}{(y-1)(y+1)} - \frac{(y-1)^2}{(y-1)(y+1)} = \frac{(y+1)^2-(y-1)^2}{(y-1)(y+1)} $

2. В числителе используем формулу разности квадратов $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \frac{(y+1-(y-1))(y+1+y-1)}{(y-1)(y+1)} = \frac{(y+1-y+1)(2y)}{(y-1)(y+1)} = \frac{2 \cdot 2y}{(y-1)(y+1)} = \frac{4y}{y^2-1} $

3. Умножим результат на вторую дробь:

$ \frac{4y}{y^2-1} \cdot \frac{y+1}{4y} = \frac{4y}{(y-1)(y+1)} \cdot \frac{y+1}{4y} = \frac{4y(y+1)}{4y(y-1)(y+1)} = \frac{1}{y-1} $

Ответ: $ \frac{1}{y-1} $

е) $ \left( \frac{1+a}{1-a} - \frac{1-a}{1+a} \right) : \frac{2a}{1-a} $

1. Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель $ (1-a)(1+a) = 1-a^2 $.

$ \frac{(1+a)^2 - (1-a)^2}{(1-a)(1+a)} = \frac{1+2a+a^2 - (1-2a+a^2)}{1-a^2} = \frac{1+2a+a^2-1+2a-a^2}{1-a^2} = \frac{4a}{1-a^2} $

2. Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

$ \frac{4a}{1-a^2} : \frac{2a}{1-a} = \frac{4a}{1-a^2} \cdot \frac{1-a}{2a} = \frac{4a(1-a)}{(1-a)(1+a) \cdot 2a} $

3. Сократим полученную дробь:

$ \frac{2 \cdot 2a \cdot (1-a)}{2a \cdot (1-a)(1+a)} = \frac{2}{1+a} $

Ответ: $ \frac{2}{1+a} $

ж) $ \frac{4y}{y-1} \cdot \left( \frac{y}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8y} \right) $

1. Упростим выражение в скобках, приведя все члены к общему знаменателю $ 8y $:

$ \frac{y \cdot y}{8 \cdot y} - \frac{1 \cdot 2y}{4 \cdot 2y} + \frac{1}{8y} = \frac{y^2-2y+1}{8y} $

2. Числитель $ y^2-2y+1 $ является полным квадратом $ (y-1)^2 $.

$ \frac{(y-1)^2}{8y} $

3. Теперь умножим результат на дробь перед скобками:

$ \frac{4y}{y-1} \cdot \frac{(y-1)^2}{8y} = \frac{4y \cdot (y-1)(y-1)}{(y-1) \cdot 8y} = \frac{y-1}{2} $

Ответ: $ \frac{y-1}{2} $

з) $ \left( \frac{a}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6a} \right) : \frac{a+1}{12a} $

1. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $ 8, 3, 6a $ это $ 24a $.

$ \frac{a \cdot 3a}{8 \cdot 3a} + \frac{1 \cdot 8a}{3 \cdot 8a} + \frac{1 \cdot 4}{6a \cdot 4} = \frac{3a^2+8a+4}{24a} $

2. Разложим числитель $ 3a^2+8a+4 $ на множители. Найдем корни уравнения $ 3a^2+8a+4=0 $. Дискриминант $ D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64-48=16 $. Корни: $ a_1 = \frac{-8+4}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} $, $ a_2 = \frac{-8-4}{6} = -2 $. Тогда $ 3a^2+8a+4 = 3(a+\frac{2}{3})(a+2) = (3a+2)(a+2) $.

Выражение в скобках: $ \frac{(3a+2)(a+2)}{24a} $.

3. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$ \frac{(3a+2)(a+2)}{24a} : \frac{a+1}{12a} = \frac{(3a+2)(a+2)}{24a} \cdot \frac{12a}{a+1} $

4. Сократим дробь:

$ \frac{(3a+2)(a+2) \cdot 12a}{24a \cdot (a+1)} = \frac{(3a+2)(a+2)}{2(a+1)} $

Ответ: $ \frac{(3a+2)(a+2)}{2(a+1)} $

539. a) $\frac{a^3 - b^3}{a - b} \cdot \frac{a}{a^2 + ab + b^2} - (a - b);$

б) $\frac{ab}{a^2 - b^2} : \frac{a + b}{a^2 - b^2} + \frac{a^2}{a + b}.$

a) Упростим выражение $\frac{a^3 - b^3}{a - b} \cdot \frac{a}{a^2 + ab + b^2} - (a - b)$.

1. Первым шагом воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Подставим это разложение в числитель первой дроби:

$\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b} \cdot \frac{a}{a^2 + ab + b^2} - (a - b)$

2. Выполним умножение дробей и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель $(a - b)$ сокращается в первой дроби. Множитель $(a^2 + ab + b^2)$ также сокращается:

$\frac{\cancel{(a - b)}\cancel{(a^2 + ab + b^2)}}{\cancel{a - b}} \cdot \frac{a}{\cancel{a^2 + ab + b^2}} - (a - b) = a - (a - b)$

3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a - a + b = b$

Ответ: $b$

б) Упростим выражение $\frac{ab}{a^2 - b^2} : \frac{a+b}{a^2 - b^2} + \frac{a^2}{a+b}$.

1. Согласно порядку действий, сначала выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{ab}{a^2 - b^2} : \frac{a+b}{a^2 - b^2} = \frac{ab}{a^2 - b^2} \cdot \frac{a^2 - b^2}{a+b}$

2. Сократим общий множитель $(a^2 - b^2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{ab}{\cancel{a^2 - b^2}} \cdot \frac{\cancel{a^2 - b^2}}{a+b} = \frac{ab}{a+b}$

3. Теперь подставим результат первого действия в исходное выражение и выполним сложение:

$\frac{ab}{a+b} + \frac{a^2}{a+b}$

4. Так как у дробей одинаковый знаменатель $(a+b)$, мы можем сложить их числители:

$\frac{ab + a^2}{a+b}$

5. В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$\frac{a(b+a)}{a+b}$

6. Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$ (так как $a+b = b+a$):

$\frac{a\cancel{(a+b)}}{\cancel{a+b}} = a$

Ответ: $a$

540. Какие из выражений не имеют смысла: $ \frac{x-y}{x^2-y^2} $; $ 7 - \frac{x-a}{a^2-2a^2+a^2} $; $ \frac{a^2+b^2-2ab}{(x-5)^2-x^2-25+10x} $; $ \frac{1}{a - \frac{1}{a} - \frac{a^2-1}{a}} $?

Для того чтобы определить, какие из выражений не имеют смысла, необходимо проверить, может ли знаменатель какой-либо из дробей в выражении обратиться в ноль. Выражение не имеет смысла, если в нем происходит деление на ноль.

$\frac{x - y}{x^2 - y^2}$

Знаменатель дроби $x^2 - y^2$ равен нулю, если $x^2 = y^2$, то есть при $x = y$ или $x = -y$. В этих случаях выражение не имеет смысла. Однако при других значениях переменных (например, $x=2, y=1$) знаменатель не равен нулю, и выражение имеет смысл.

Ответ: Выражение имеет смысл не при всех значениях переменных.

$7 - \frac{x - a}{a^2 - 2a^2 + a^2}$

Рассмотрим знаменатель дроби в этом выражении: $a^2 - 2a^2 + a^2$. Упростив его, получаем: $(1-2+1)a^2 = 0 \cdot a^2 = 0$. Так как знаменатель тождественно (т.е. при любых значениях $a$) равен нулю, деление на ноль делает все выражение бессмысленным.

Ответ: Выражение не имеет смысла.

$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{x^2 + a^2}$

Знаменатель дроби $x^2 + a^2$. Для действительных чисел $x^2 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$. Сумма $x^2 + a^2$ равна нулю только в том случае, если $x^2=0$ и $a^2=0$ одновременно, то есть при $x=0$ и $a=0$. Во всех остальных случаях знаменатель положителен, и выражение имеет смысл.

Ответ: Выражение имеет смысл не при всех значениях переменных.

$\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{(x-5)^2 - x^2 - 25 + 10x}$

Рассмотрим и упростим знаменатель дроби: $(x-5)^2 - x^2 - 25 + 10x$. Раскроем скобки по формуле квадрата разности: $(x^2 - 10x + 25) - x^2 - 25 + 10x$. Приведем подобные слагаемые: $(x^2 - x^2) + (-10x + 10x) + (25 - 25) = 0$. Так как знаменатель тождественно равен нулю, выражение не имеет смысла.

Ответ: Выражение не имеет смысла.

$\frac{1}{a - \frac{1}{a} - \frac{a^2 - 1}{a}}$

В этом выражении есть как главный знаменатель, так и знаменатели во внутренних дробях. Чтобы внутренние дроби $\frac{1}{a}$ и $\frac{a^2-1}{a}$ имели смысл, необходимо, чтобы $a \neq 0$. Рассмотрим главный знаменатель $D = a - \frac{1}{a} - \frac{a^2 - 1}{a}$. Приводя его к общему знаменателю $a$ (при $a \neq 0$), получаем: $D = \frac{a^2}{a} - \frac{1}{a} - \frac{a^2-1}{a} = \frac{a^2 - 1 - (a^2-1)}{a} = \frac{a^2 - 1 - a^2 + 1}{a} = \frac{0}{a} = 0$. Таким образом, при любом $a \neq 0$ знаменатель равен нулю. Если же $a=0$, то выражение не определено из-за деления на ноль во внутренних дробях. Следовательно, данное выражение не имеет смысла ни при каких значениях $a$.

Ответ: Выражение не имеет смысла.