Страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

533. a) Что называют рациональным выражением?

б) Какие выражения не имеют смысла?

а)

Рациональным выражением называют алгебраическое выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, причем $Q$ не является нулевым многочленом.

Рациональные выражения состоят из чисел, переменных и знаков арифметических операций: сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень.

Они делятся на два вида:

• Целые выражения — это выражения, которые не содержат деления на переменную или на выражение с переменной. Например: $3a^2b$, $x-y$, $5(c+d)^2$, $\frac{k-4}{7}$. Любой многочлен является целым выражением.
• Дробные выражения — это выражения, которые содержат деление на переменную или на выражение с переменной. Например: $\frac{x+y}{x}$, $a + \frac{1}{a}$, $\frac{8}{m^2-9}$.

Таким образом, и целые, и дробные выражения вместе образуют множество рациональных выражений.

Ответ: Рациональным выражением называют выражение, составленное из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень. Рациональные выражения бывают целыми (не содержат деления на переменную) и дробными (содержат деление на переменную).

б)

Выражение не имеет смысла (или говорят, что оно не определено) при тех значениях переменных, при которых приходится выполнять недопустимую математическую операцию.

Для рациональных выражений такой недопустимой операцией является деление на ноль.

Следовательно, дробное рациональное выражение вида $\frac{P}{Q}$ не имеет смысла при тех значениях переменных, которые обращают его знаменатель $Q$ в ноль. Чтобы найти такие значения, нужно приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение.

Примеры:

• Выражение $\frac{12}{x-5}$ не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю:
  $x-5=0$
  $x=5$
  При $x=5$ выражение не имеет смысла.
• Выражение $\frac{a+b}{c(c+1)}$ не имеет смысла, когда $c(c+1)=0$. Это происходит, если $c=0$ или $c+1=0$ (то есть $c=-1$).
  При $c=0$ или $c=-1$ выражение не имеет смысла.

Важно отметить, что целые рациональные выражения имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных, так как в них отсутствует деление на переменную.

Ответ: Выражения не имеют смысла, когда в них выполняется деление на ноль. Это относится к дробным рациональным выражениям, знаменатель которых обращается в ноль при определенных значениях переменных.

Упростите рациональное выражение (534—539):

534. а)
$( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ) abc;$

б) $5x^2 ( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} + 3 );$

в) $( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} ) \cdot \frac{ab}{c};$

г) $3x^3 ( \frac{2}{x^2} + \frac{1}{y} + \frac{4}{x} ).$

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо умножить многочлен в скобках на одночлен $abc$. Для этого, используя распределительный закон умножения, умножим каждый член многочлена на $abc$.

$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \cdot abc = \frac{1}{a} \cdot abc + \frac{1}{b} \cdot abc + \frac{1}{c} \cdot abc$

Теперь выполним сокращение в каждом из полученных слагаемых:

$\frac{abc}{a} + \frac{abc}{b} + \frac{abc}{c} = bc + ac + ab$

Для стандартного вида расположим слагаемые в алфавитном порядке.

Ответ: $ab + ac + bc$.

б) Умножим одночлен $5x^2$ на каждый член многочлена в скобках, применяя распределительный закон.

$5x^2(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} + 3) = 5x^2 \cdot \frac{1}{x^2} - 5x^2 \cdot \frac{1}{x} + 5x^2 \cdot 3$

Упростим каждое слагаемое путем умножения и сокращения дробей:

$\frac{5x^2}{x^2} - \frac{5x^2}{x} + 15x^2 = 5 - 5x + 15x^2$

Запишем полученный многочлен в стандартном виде, расположив его члены по убыванию степеней переменной $x$.

Ответ: $15x^2 - 5x + 5$.

в) Для упрощения выражения умножим каждый член в скобках на дробь $\frac{ab}{c}$.

$(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}) \cdot \frac{ab}{c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{ab}{c} + \frac{b}{c} \cdot \frac{ab}{c} + \frac{c}{a} \cdot \frac{ab}{c}$

Выполним умножение дробей и сократим, где это возможно:

$\frac{a \cdot ab}{b \cdot c} + \frac{b \cdot ab}{c \cdot c} + \frac{c \cdot ab}{a \cdot c} = \frac{a^2b}{bc} + \frac{ab^2}{c^2} + \frac{abc}{ac}$

Сокращаем в первом и третьем слагаемых:

$\frac{a^2}{c} + \frac{ab^2}{c^2} + b$

Ответ: $\frac{a^2}{c} + \frac{ab^2}{c^2} + b$.

г) Умножим одночлен $3x^3$ на каждый член многочлена в скобках.

$3x^3(\frac{2}{x^2} + \frac{1}{y} + \frac{4}{x}) = 3x^3 \cdot \frac{2}{x^2} + 3x^3 \cdot \frac{1}{y} + 3x^3 \cdot \frac{4}{x}$

Упростим каждое слагаемое:

$\frac{3x^3 \cdot 2}{x^2} + \frac{3x^3}{y} + \frac{3x^3 \cdot 4}{x} = \frac{6x^3}{x^2} + \frac{3x^3}{y} + \frac{12x^3}{x}$

Сократим степени $x$ в первом и третьем слагаемых:

$6x^{3-2} + \frac{3x^3}{y} + 12x^{3-1} = 6x + \frac{3x^3}{y} + 12x^2$

Расположим члены выражения по убыванию степеней переменной $x$.

Ответ: $12x^2 + 6x + \frac{3x^3}{y}$.

535. а) $\left(\frac{a+x}{a} - \frac{x-y}{x}\right) \cdot \frac{a^2}{x^2 + ay};$

б) $\left(\frac{a}{a-1} + 1\right) : \left(1 - \frac{a}{a-1}\right);$

в) $\left(m - \frac{1}{1+m}\right) \cdot \frac{m+1}{1-m-m^2};$

г) $\left(a + \frac{a^2}{c}\right) : \left(b + \frac{bc}{a}\right);$

д) $\left(\frac{a+x}{x} - \frac{2x}{x-a}\right) : \frac{a^2+x^2}{x-a};$

е) $\left(\frac{x^2+1}{2x-1} - \frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1-2x}{x+2};$

ж) $\left(\frac{n}{n+x} - \frac{n}{n-x}\right) : \left(\frac{n}{n-x} + \frac{n}{n+x}\right);$

з) $\frac{3}{5x} - \frac{3}{x+y} \cdot \left(\frac{x+y}{5x} - x - y\right).$

а)

Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ax$:
$(\frac{a+x}{a} - \frac{x-y}{x}) \cdot \frac{a^2}{x^2+ay} = (\frac{x(a+x)}{ax} - \frac{a(x-y)}{ax}) \cdot \frac{a^2}{x^2+ay}$

Упростим числитель в скобках:
$\frac{x(a+x) - a(x-y)}{ax} = \frac{ax+x^2-ax+ay}{ax} = \frac{x^2+ay}{ax}$

Теперь умножим полученную дробь на вторую:
$\frac{x^2+ay}{ax} \cdot \frac{a^2}{x^2+ay}$

Сократим общие множители $(x^2+ay)$ и $a$:
$\frac{1}{x} \cdot \frac{a}{1} = \frac{a}{x}$

Ответ: $\frac{a}{x}$

б)

Выполним действия в каждой из скобок, приводя к общим знаменателям.
В первой скобке: $\frac{a}{a-1} + 1 = \frac{a}{a-1} + \frac{a-1}{a-1} = \frac{a+a-1}{a-1} = \frac{2a-1}{a-1}$
Во второй скобке: $1 - \frac{a}{a-1} = \frac{a-1}{a-1} - \frac{a}{a-1} = \frac{a-1-a}{a-1} = \frac{-1}{a-1}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{2a-1}{a-1} : \frac{-1}{a-1} = \frac{2a-1}{a-1} \cdot \frac{a-1}{-1}$

Сократим общий множитель $(a-1)$:
$\frac{2a-1}{1} \cdot \frac{1}{-1} = -(2a-1) = 1-2a$

Ответ: $1-2a$

в)

Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $(1+m)$:
$(m - \frac{1}{1+m}) \cdot \frac{m+1}{1-m-m^2} = (\frac{m(1+m)}{1+m} - \frac{1}{1+m}) \cdot \frac{m+1}{1-m-m^2}$

Выполним вычитание в числителе:
$\frac{m(1+m)-1}{1+m} = \frac{m+m^2-1}{1+m} = \frac{m^2+m-1}{m+1}$

Теперь умножим результат на вторую дробь:
$\frac{m^2+m-1}{m+1} \cdot \frac{m+1}{1-m-m^2}$

Заметим, что $m^2+m-1 = -( -m^2-m+1) = -(1-m-m^2)$. Подставим это в выражение:
$\frac{-(1-m-m^2)}{m+1} \cdot \frac{m+1}{1-m-m^2}$

Сократим общие множители $(m+1)$ и $(1-m-m^2)$:
$\frac{-1}{1} \cdot \frac{1}{1} = -1$

Ответ: $-1$

г)

Упростим выражения в каждой из скобок.
В первой скобке: $a + \frac{a^2}{c} = \frac{ac+a^2}{c} = \frac{a(c+a)}{c}$
Во второй скобке: $b + \frac{bc}{a} = \frac{ab+bc}{a} = \frac{b(a+c)}{a}$

Теперь выполним деление:
$\frac{a(a+c)}{c} : \frac{b(a+c)}{a} = \frac{a(a+c)}{c} \cdot \frac{a}{b(a+c)}$

Сократим общий множитель $(a+c)$:
$\frac{a}{c} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a^2}{bc}$

Ответ: $\frac{a^2}{bc}$

д)

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $x(x-a)$:
$(\frac{a+x}{x} - \frac{2x}{x-a}) : \frac{a^2+x^2}{x-a} = (\frac{(a+x)(x-a)}{x(x-a)} - \frac{2x \cdot x}{x(x-a)}) : \frac{a^2+x^2}{x-a}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов:
$\frac{(x^2-a^2) - 2x^2}{x(x-a)} = \frac{x^2-a^2-2x^2}{x(x-a)} = \frac{-a^2-x^2}{x(x-a)} = \frac{-(a^2+x^2)}{x(x-a)}$

Выполним деление, умножив на обратную дробь:
$\frac{-(a^2+x^2)}{x(x-a)} \cdot \frac{x-a}{a^2+x^2}$

Сократим общие множители $(a^2+x^2)$ и $(x-a)$:
$\frac{-1}{x} \cdot \frac{1}{1} = -\frac{1}{x}$

Ответ: $-\frac{1}{x}$

е)

Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $2(2x-1)$:
$(\frac{x^2+1}{2x-1} - \frac{x}{2}) \cdot \frac{1-2x}{x+2} = (\frac{2(x^2+1)}{2(2x-1)} - \frac{x(2x-1)}{2(2x-1)}) \cdot \frac{1-2x}{x+2}$

Упростим числитель в скобках:
$\frac{2x^2+2 - (2x^2-x)}{2(2x-1)} = \frac{2x^2+2 - 2x^2+x}{2(2x-1)} = \frac{x+2}{2(2x-1)}$

Теперь выполним умножение. Заметим, что $1-2x = -(2x-1)$:
$\frac{x+2}{2(2x-1)} \cdot \frac{-(2x-1)}{x+2}$

Сократим общие множители $(x+2)$ и $(2x-1)$:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{1} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

ж)

Упростим выражения в обеих скобках. Общий знаменатель для дробей в скобках — это $(n+x)(n-x) = n^2-x^2$.
Первая скобка (делимое):
$\frac{n}{n+x} - \frac{n}{n-x} = \frac{n(n-x) - n(n+x)}{(n+x)(n-x)} = \frac{n^2-nx - n^2-nx}{n^2-x^2} = \frac{-2nx}{n^2-x^2}$
Вторая скобка (делитель):
$\frac{n}{n-x} + \frac{n}{n+x} = \frac{n(n+x) + n(n-x)}{(n-x)(n+x)} = \frac{n^2+nx + n^2-nx}{n^2-x^2} = \frac{2n^2}{n^2-x^2}$

Выполним деление:
$\frac{-2nx}{n^2-x^2} : \frac{2n^2}{n^2-x^2} = \frac{-2nx}{n^2-x^2} \cdot \frac{n^2-x^2}{2n^2}$

Сократим общие множители $(n^2-x^2)$ и $2n$:
$\frac{-x}{1} \cdot \frac{1}{n} = -\frac{x}{n}$

Ответ: $-\frac{x}{n}$

з)

Согласно порядку действий, сначала выполним умножение. Для этого упростим выражение в скобках:
$\frac{x+y}{5x} - x - y = \frac{x+y}{5x} - (x+y) = \frac{x+y}{5x} - \frac{5x(x+y)}{5x} = \frac{(x+y)(1-5x)}{5x}$

Теперь умножим $\frac{3}{x+y}$ на полученное выражение:
$\frac{3}{x+y} \cdot \frac{(x+y)(1-5x)}{5x} = \frac{3(1-5x)}{5x}$

Теперь выполним вычитание из начального выражения:
$\frac{3}{5x} - \frac{3(1-5x)}{5x} = \frac{3 - 3(1-5x)}{5x}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:
$\frac{3 - 3 + 15x}{5x} = \frac{15x}{5x}$

Сократим дробь:
$\frac{15x}{5x} = 3$

Ответ: $3$

536. a) $(a^2 - \frac{1}{b^2}) : (a - \frac{1}{b});$

Б) $(\frac{3a^2}{4b^2} - \frac{b^2}{3}) : (\frac{3a}{2b} + b);$

В) $(4x^2 - \frac{1}{9b^2}) : (2x - \frac{1}{3b}).$

а) Для того чтобы решить выражение $(a^2 - \frac{1}{b^2}) : (a - \frac{1}{b})$, воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Выражение в первой скобке $a^2 - \frac{1}{b^2}$ можно представить как $a^2 - (\frac{1}{b})^2$.
Применив формулу, получаем:
$a^2 - \frac{1}{b^2} = (a - \frac{1}{b})(a + \frac{1}{b})$.
Теперь выполним деление:
$(a^2 - \frac{1}{b^2}) : (a - \frac{1}{b}) = \frac{(a - \frac{1}{b})(a + \frac{1}{b})}{a - \frac{1}{b}}$.
Сокращаем общий множитель $(a - \frac{1}{b})$ в числителе и знаменателе:
$a + \frac{1}{b}$.
Ответ: $a + \frac{1}{b}$.

б) Рассмотрим выражение $(\frac{3a^2}{4b^2} - \frac{b^2}{3}) : (\frac{3a}{2b} + b)$.
Сначала упростим выражения в каждой из скобок, приведя их к общему знаменателю.
Первая скобка:
$\frac{3a^2}{4b^2} - \frac{b^2}{3} = \frac{3a^2 \cdot 3}{12b^2} - \frac{b^2 \cdot 4b^2}{12b^2} = \frac{9a^2 - 4b^4}{12b^2}$.
Вторая скобка:
$\frac{3a}{2b} + b = \frac{3a}{2b} + \frac{b \cdot 2b}{2b} = \frac{3a + 2b^2}{2b}$.
Теперь выполним деление полученных дробей:
$\frac{9a^2 - 4b^4}{12b^2} : \frac{3a + 2b^2}{2b} = \frac{9a^2 - 4b^4}{12b^2} \cdot \frac{2b}{3a + 2b^2}$.
Числитель первой дроби, $9a^2 - 4b^4$, является разностью квадратов $(3a)^2$ и $(2b^2)^2$. Разложим его на множители:
$9a^2 - 4b^4 = (3a - 2b^2)(3a + 2b^2)$.
Подставим это в наше выражение и сократим:
$\frac{(3a - 2b^2)(3a + 2b^2)}{12b^2} \cdot \frac{2b}{3a + 2b^2} = \frac{(3a - 2b^2)\cancel{(3a + 2b^2)}}{\cancel{12b^2}_{6b}} \cdot \frac{\cancel{2b}}{\cancel{3a + 2b^2}} = \frac{3a - 2b^2}{6b}$.
Также результат можно представить в виде разности двух дробей:
$\frac{3a}{6b} - \frac{2b^2}{6b} = \frac{a}{2b} - \frac{b}{3}$.
Ответ: $\frac{a}{2b} - \frac{b}{3}$.

в) Для того чтобы решить выражение $(4x^2 - \frac{1}{9b^2}) : (2x - \frac{1}{3b})$, воспользуемся формулой разности квадратов, как и в пункте а).
Выражение в первой скобке $4x^2 - \frac{1}{9b^2}$ можно представить как $(2x)^2 - (\frac{1}{3b})^2$.
Применив формулу разности квадратов $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)$, получаем:
$4x^2 - \frac{1}{9b^2} = (2x - \frac{1}{3b})(2x + \frac{1}{3b})$.
Теперь выполним деление:
$(4x^2 - \frac{1}{9b^2}) : (2x - \frac{1}{3b}) = \frac{(2x - \frac{1}{3b})(2x + \frac{1}{3b})}{2x - \frac{1}{3b}}$.
Сокращаем общий множитель $(2x - \frac{1}{3b})$ в числителе и знаменателе:
$2x + \frac{1}{3b}$.
Ответ: $2x + \frac{1}{3b}$.

537. a) $\frac{x+y}{x} - \frac{x}{x-y} + \frac{y^2}{x^2-xy}$;

б) $\frac{1}{m+2} + \frac{1}{m-2} - \frac{4}{m^2-4}$;

В) $\frac{3x^2+3xy}{4xy+6ay} \cdot \left(\frac{x}{ax+ay} + \frac{3}{2x+2y}\right)$;

Г) $\left(\frac{c-d}{c^2+cd} - \frac{c}{d^2+cd}\right) : \left(\frac{d^2}{c^3-cd^2} + \frac{1}{c+d}\right)$.

а)

Упростим выражение $\frac{x+y}{x} - \frac{x}{x-y} + \frac{y^2}{x^2-xy}$.

1. Разложим на множители знаменатель последней дроби: $x^2 - xy = x(x-y)$.

2. Общий знаменатель для всех дробей будет $x(x-y)$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Для первой дроби дополнительный множитель $(x-y)$, для второй - $x$.

$\frac{(x+y)(x-y)}{x(x-y)} - \frac{x \cdot x}{x(x-y)} + \frac{y^2}{x(x-y)}$

4. Выполним действия в числителе. Числитель первой дроби является разностью квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

$\frac{(x^2-y^2) - x^2 + y^2}{x(x-y)} = \frac{x^2 - y^2 - x^2 + y^2}{x(x-y)} = \frac{0}{x(x-y)} = 0$

Выражение равно нулю при допустимых значениях переменных ($x \neq 0, x \neq y$).

Ответ: $0$.

б)

Упростим выражение $\frac{1}{m+2} + \frac{1}{m-2} - \frac{4}{m^2-4}$.

1. Разложим знаменатель последней дроби на множители по формуле разности квадратов: $m^2 - 4 = (m-2)(m+2)$.

2. Общий знаменатель для всех дробей: $(m-2)(m+2)$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Для первой дроби дополнительный множитель $(m-2)$, для второй - $(m+2)$.

$\frac{1 \cdot (m-2)}{(m+2)(m-2)} + \frac{1 \cdot (m+2)}{(m-2)(m+2)} - \frac{4}{(m-2)(m+2)}$

4. Выполним сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(m-2) + (m+2) - 4}{(m-2)(m+2)} = \frac{m-2+m+2-4}{(m-2)(m+2)} = \frac{2m-4}{(m-2)(m+2)}$

5. Вынесем в числителе общий множитель за скобки: $2m-4 = 2(m-2)$.

6. Сократим полученную дробь:

$\frac{2(m-2)}{(m-2)(m+2)} = \frac{2}{m+2}$

Ответ: $\frac{2}{m+2}$.

в)

Упростим выражение $\frac{3x^2+3xy}{4xy+6ay} \cdot \left( \frac{x}{ax+ay} + \frac{3}{2x+2y} \right)$.

1. Сначала выполним сложение в скобках. Разложим знаменатели на множители: $ax+ay=a(x+y)$ и $2x+2y=2(x+y)$. Общий знаменатель $2a(x+y)$.

$\frac{x}{a(x+y)} + \frac{3}{2(x+y)} = \frac{x \cdot 2}{2a(x+y)} + \frac{3 \cdot a}{2a(x+y)} = \frac{2x+3a}{2a(x+y)}$

2. Теперь разложим на множители числитель и знаменатель первого множителя:

$\frac{3x^2+3xy}{4xy+6ay} = \frac{3x(x+y)}{2y(2x+3a)}$

3. Выполним умножение полученных выражений:

$\frac{3x(x+y)}{2y(2x+3a)} \cdot \frac{2x+3a}{2a(x+y)}$

4. Сократим общие множители $(x+y)$ и $(2x+3a)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{3x}{2y} \cdot \frac{1}{2a} = \frac{3x}{4ay}$

Ответ: $\frac{3x}{4ay}$.

г)

Упростим выражение $\left( \frac{c-d}{c^2+cd} - \frac{c}{d^2+cd} \right) : \left( \frac{d^2}{c^3-cd^2} + \frac{1}{c+d} \right)$.

1. Выполним действие в первых скобках. Разложим знаменатели на множители $c^2+cd = c(c+d)$ и $d^2+cd = d(c+d)$. Общий знаменатель $cd(c+d)$.

$\frac{c-d}{c(c+d)} - \frac{c}{d(c+d)} = \frac{d(c-d)}{cd(c+d)} - \frac{c \cdot c}{cd(c+d)} = \frac{cd-d^2-c^2}{cd(c+d)} = -\frac{c^2-cd+d^2}{cd(c+d)}$

2. Выполним действие во вторых скобках. Разложим знаменатель $c^3-cd^2 = c(c^2-d^2) = c(c-d)(c+d)$. Общий знаменатель $c(c-d)(c+d)$.

$\frac{d^2}{c(c-d)(c+d)} + \frac{1}{c+d} = \frac{d^2}{c(c-d)(c+d)} + \frac{c(c-d)}{c(c-d)(c+d)} = \frac{d^2+c^2-cd}{c(c-d)(c+d)}$

3. Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\left(-\frac{c^2-cd+d^2}{cd(c+d)}\right) \cdot \frac{c(c-d)(c+d)}{c^2-cd+d^2}$

4. Сократим общие множители $(c^2-cd+d^2)$, $c$ и $(c+d)$:

$-\frac{1}{d} \cdot \frac{c-d}{1} = -\frac{c-d}{d} = \frac{-(c-d)}{d} = \frac{d-c}{d}$

Ответ: $\frac{d-c}{d}$.