Номер 534, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.4. Рациональные выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 534, страница 138.

Условие.

Упростите рациональное выражение (534—539):

534. а)
$( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ) abc;$

б) $5x^2 ( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} + 3 );$

в) $( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} ) \cdot \frac{ab}{c};$

г) $3x^3 ( \frac{2}{x^2} + \frac{1}{y} + \frac{4}{x} ).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо умножить многочлен в скобках на одночлен $abc$. Для этого, используя распределительный закон умножения, умножим каждый член многочлена на $abc$.

$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \cdot abc = \frac{1}{a} \cdot abc + \frac{1}{b} \cdot abc + \frac{1}{c} \cdot abc$

Теперь выполним сокращение в каждом из полученных слагаемых:

$\frac{abc}{a} + \frac{abc}{b} + \frac{abc}{c} = bc + ac + ab$

Для стандартного вида расположим слагаемые в алфавитном порядке.

Ответ: $ab + ac + bc$.

б) Умножим одночлен $5x^2$ на каждый член многочлена в скобках, применяя распределительный закон.

$5x^2(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} + 3) = 5x^2 \cdot \frac{1}{x^2} - 5x^2 \cdot \frac{1}{x} + 5x^2 \cdot 3$

Упростим каждое слагаемое путем умножения и сокращения дробей:

$\frac{5x^2}{x^2} - \frac{5x^2}{x} + 15x^2 = 5 - 5x + 15x^2$

Запишем полученный многочлен в стандартном виде, расположив его члены по убыванию степеней переменной $x$.

Ответ: $15x^2 - 5x + 5$.

в) Для упрощения выражения умножим каждый член в скобках на дробь $\frac{ab}{c}$.

$(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}) \cdot \frac{ab}{c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{ab}{c} + \frac{b}{c} \cdot \frac{ab}{c} + \frac{c}{a} \cdot \frac{ab}{c}$

Выполним умножение дробей и сократим, где это возможно:

$\frac{a \cdot ab}{b \cdot c} + \frac{b \cdot ab}{c \cdot c} + \frac{c \cdot ab}{a \cdot c} = \frac{a^2b}{bc} + \frac{ab^2}{c^2} + \frac{abc}{ac}$

Сокращаем в первом и третьем слагаемых:

$\frac{a^2}{c} + \frac{ab^2}{c^2} + b$

Ответ: $\frac{a^2}{c} + \frac{ab^2}{c^2} + b$.

г) Умножим одночлен $3x^3$ на каждый член многочлена в скобках.

$3x^3(\frac{2}{x^2} + \frac{1}{y} + \frac{4}{x}) = 3x^3 \cdot \frac{2}{x^2} + 3x^3 \cdot \frac{1}{y} + 3x^3 \cdot \frac{4}{x}$

Упростим каждое слагаемое:

$\frac{3x^3 \cdot 2}{x^2} + \frac{3x^3}{y} + \frac{3x^3 \cdot 4}{x} = \frac{6x^3}{x^2} + \frac{3x^3}{y} + \frac{12x^3}{x}$

Сократим степени $x$ в первом и третьем слагаемых:

$6x^{3-2} + \frac{3x^3}{y} + 12x^{3-1} = 6x + \frac{3x^3}{y} + 12x^2$

Расположим члены выражения по убыванию степеней переменной $x$.

Ответ: $12x^2 + 6x + \frac{3x^3}{y}$.