Номер 536, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.4. Рациональные выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 536, страница 138.

Условие.

536. a) $(a^2 - \frac{1}{b^2}) : (a - \frac{1}{b});$

Б) $(\frac{3a^2}{4b^2} - \frac{b^2}{3}) : (\frac{3a}{2b} + b);$

В) $(4x^2 - \frac{1}{9b^2}) : (2x - \frac{1}{3b}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для того чтобы решить выражение $(a^2 - \frac{1}{b^2}) : (a - \frac{1}{b})$, воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Выражение в первой скобке $a^2 - \frac{1}{b^2}$ можно представить как $a^2 - (\frac{1}{b})^2$.
Применив формулу, получаем:
$a^2 - \frac{1}{b^2} = (a - \frac{1}{b})(a + \frac{1}{b})$.
Теперь выполним деление:
$(a^2 - \frac{1}{b^2}) : (a - \frac{1}{b}) = \frac{(a - \frac{1}{b})(a + \frac{1}{b})}{a - \frac{1}{b}}$.
Сокращаем общий множитель $(a - \frac{1}{b})$ в числителе и знаменателе:
$a + \frac{1}{b}$.
Ответ: $a + \frac{1}{b}$.

б) Рассмотрим выражение $(\frac{3a^2}{4b^2} - \frac{b^2}{3}) : (\frac{3a}{2b} + b)$.
Сначала упростим выражения в каждой из скобок, приведя их к общему знаменателю.
Первая скобка:
$\frac{3a^2}{4b^2} - \frac{b^2}{3} = \frac{3a^2 \cdot 3}{12b^2} - \frac{b^2 \cdot 4b^2}{12b^2} = \frac{9a^2 - 4b^4}{12b^2}$.
Вторая скобка:
$\frac{3a}{2b} + b = \frac{3a}{2b} + \frac{b \cdot 2b}{2b} = \frac{3a + 2b^2}{2b}$.
Теперь выполним деление полученных дробей:
$\frac{9a^2 - 4b^4}{12b^2} : \frac{3a + 2b^2}{2b} = \frac{9a^2 - 4b^4}{12b^2} \cdot \frac{2b}{3a + 2b^2}$.
Числитель первой дроби, $9a^2 - 4b^4$, является разностью квадратов $(3a)^2$ и $(2b^2)^2$. Разложим его на множители:
$9a^2 - 4b^4 = (3a - 2b^2)(3a + 2b^2)$.
Подставим это в наше выражение и сократим:
$\frac{(3a - 2b^2)(3a + 2b^2)}{12b^2} \cdot \frac{2b}{3a + 2b^2} = \frac{(3a - 2b^2)\cancel{(3a + 2b^2)}}{\cancel{12b^2}_{6b}} \cdot \frac{\cancel{2b}}{\cancel{3a + 2b^2}} = \frac{3a - 2b^2}{6b}$.
Также результат можно представить в виде разности двух дробей:
$\frac{3a}{6b} - \frac{2b^2}{6b} = \frac{a}{2b} - \frac{b}{3}$.
Ответ: $\frac{a}{2b} - \frac{b}{3}$.

в) Для того чтобы решить выражение $(4x^2 - \frac{1}{9b^2}) : (2x - \frac{1}{3b})$, воспользуемся формулой разности квадратов, как и в пункте а).
Выражение в первой скобке $4x^2 - \frac{1}{9b^2}$ можно представить как $(2x)^2 - (\frac{1}{3b})^2$.
Применив формулу разности квадратов $u^2 - v^2 = (u-v)(u+v)$, получаем:
$4x^2 - \frac{1}{9b^2} = (2x - \frac{1}{3b})(2x + \frac{1}{3b})$.
Теперь выполним деление:
$(4x^2 - \frac{1}{9b^2}) : (2x - \frac{1}{3b}) = \frac{(2x - \frac{1}{3b})(2x + \frac{1}{3b})}{2x - \frac{1}{3b}}$.
Сокращаем общий множитель $(2x - \frac{1}{3b})$ в числителе и знаменателе:
$2x + \frac{1}{3b}$.
Ответ: $2x + \frac{1}{3b}$.