Номер 533, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.4. Рациональные выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 533, страница 138.

Условие.

533. a) Что называют рациональным выражением?

б) Какие выражения не имеют смысла?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Рациональным выражением называют алгебраическое выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, причем $Q$ не является нулевым многочленом.

Рациональные выражения состоят из чисел, переменных и знаков арифметических операций: сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень.

Они делятся на два вида:

• Целые выражения — это выражения, которые не содержат деления на переменную или на выражение с переменной. Например: $3a^2b$, $x-y$, $5(c+d)^2$, $\frac{k-4}{7}$. Любой многочлен является целым выражением.
• Дробные выражения — это выражения, которые содержат деление на переменную или на выражение с переменной. Например: $\frac{x+y}{x}$, $a + \frac{1}{a}$, $\frac{8}{m^2-9}$.

Таким образом, и целые, и дробные выражения вместе образуют множество рациональных выражений.

Ответ: Рациональным выражением называют выражение, составленное из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень. Рациональные выражения бывают целыми (не содержат деления на переменную) и дробными (содержат деление на переменную).

б)

Выражение не имеет смысла (или говорят, что оно не определено) при тех значениях переменных, при которых приходится выполнять недопустимую математическую операцию.

Для рациональных выражений такой недопустимой операцией является деление на ноль.

Следовательно, дробное рациональное выражение вида $\frac{P}{Q}$ не имеет смысла при тех значениях переменных, которые обращают его знаменатель $Q$ в ноль. Чтобы найти такие значения, нужно приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение.

Примеры:

• Выражение $\frac{12}{x-5}$ не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю:
  $x-5=0$
  $x=5$
  При $x=5$ выражение не имеет смысла.
• Выражение $\frac{a+b}{c(c+1)}$ не имеет смысла, когда $c(c+1)=0$. Это происходит, если $c=0$ или $c+1=0$ (то есть $c=-1$).
  При $c=0$ или $c=-1$ выражение не имеет смысла.

Важно отметить, что целые рациональные выражения имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных, так как в них отсутствует деление на переменную.

Ответ: Выражения не имеют смысла, когда в них выполняется деление на ноль. Это относится к дробным рациональным выражениям, знаменатель которых обращается в ноль при определенных значениях переменных.