Номер 527, страница 135 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 527, страница 135.

Условие.

527. а) $ \frac{p^2 - q^2}{p^2} \cdot \frac{pq + q^2}{(p + q)^2}; $

б) $ \frac{a^2 - 9b^2}{a^2 - ab} : \frac{a^2 + 3ab}{a - b}; $

В) $ \frac{3x^2 - 3y^2}{x^2 + xy} \cdot \frac{x + y}{6x - 6y}; $

Г) $ \frac{m^2 - n^2}{(m + n)^2} : \frac{4m - 4n}{3m + 3n}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) $\frac{p^2 - q^2}{p^2} \cdot \frac{pq + q^2}{(p + q)^2}$

1. Разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесение общего множителя за скобки:

• $p^2 - q^2 = (p - q)(p + q)$
• $pq + q^2 = q(p + q)$

2. Подставим разложенные выражения в исходное уравнение:

$\frac{(p - q)(p + q)}{p^2} \cdot \frac{q(p + q)}{(p + q)^2}$

3. Выполним умножение дробей:

$\frac{(p - q)(p + q) \cdot q(p + q)}{p^2 \cdot (p + q)^2} = \frac{q(p - q)(p + q)^2}{p^2(p + q)^2}$

4. Сократим общие множители $(p + q)^2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{q(p - q)}{p^2}$

Ответ: $\frac{q(p - q)}{p^2}$

---

б) $\frac{a^2 - 9b^2}{a^2 - ab} : \frac{a^2 + 3ab}{a - b}$

1. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{a^2 - 9b^2}{a^2 - ab} \cdot \frac{a - b}{a^2 + 3ab}$

2. Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

• $a^2 - 9b^2 = a^2 - (3b)^2 = (a - 3b)(a + 3b)$
• $a^2 - ab = a(a - b)$
• $a^2 + 3ab = a(a + 3b)$

3. Подставим разложенные выражения в уравнение:

$\frac{(a - 3b)(a + 3b)}{a(a - b)} \cdot \frac{a - b}{a(a + 3b)}$

4. Перемножим дроби и сократим общие множители $(a + 3b)$ и $(a - b)$:

$\frac{(a - 3b)(a + 3b)(a - b)}{a(a - b)a(a + 3b)} = \frac{a - 3b}{a \cdot a} = \frac{a - 3b}{a^2}$

Ответ: $\frac{a - 3b}{a^2}$

---

в) $\frac{3x^2 - 3y^2}{x^2 + xy} \cdot \frac{x + y}{6x - 6y}$

1. Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

• $3x^2 - 3y^2 = 3(x^2 - y^2) = 3(x - y)(x + y)$
• $x^2 + xy = x(x + y)$
• $6x - 6y = 6(x - y)$

2. Подставим разложенные выражения в исходное уравнение:

$\frac{3(x - y)(x + y)}{x(x + y)} \cdot \frac{x + y}{6(x - y)}$

3. Выполним умножение и сократим общие множители $(x - y)$, $(x + y)$ и числовой множитель 3:

$\frac{3(x - y)(x + y)(x + y)}{x(x + y) \cdot 6(x - y)} = \frac{3(x+y)}{6x} = \frac{x+y}{2x}$

Ответ: $\frac{x + y}{2x}$

---

г) $\frac{m^2 - n^2}{(m + n)^2} : \frac{4m - 4n}{3m + 3n}$

1. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{m^2 - n^2}{(m + n)^2} \cdot \frac{3m + 3n}{4m - 4n}$

2. Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

• $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$
• $3m + 3n = 3(m + n)$
• $4m - 4n = 4(m - n)$

3. Подставим разложенные выражения в уравнение:

$\frac{(m - n)(m + n)}{(m + n)^2} \cdot \frac{3(m + n)}{4(m - n)}$

4. Перемножим дроби:

$\frac{(m - n)(m + n) \cdot 3(m + n)}{(m + n)^2 \cdot 4(m - n)} = \frac{3(m - n)(m + n)^2}{4(m - n)(m + n)^2}$

5. Сократим общие множители $(m - n)$ и $(m + n)^2$:

$\frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$