Номер 517, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 517, страница 134.

Условие.

517. а) $ \frac{1}{4x} - \frac{1}{3x}; $

б) $ \frac{1}{m} + \frac{5}{4m}; $

В) $ \frac{2}{p} + \frac{3}{pq}; $

Г) $ \frac{a}{xy} - \frac{b}{x}; $

Д) $ \frac{m}{n^2} - \frac{1}{mn}; $

е) $ \frac{a}{3b^2} + \frac{8}{2ab}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Чтобы вычесть дроби $\frac{1}{4x}$ и $\frac{1}{3x}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $4x$ и $3x$ — это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. НОК(4, 3) = 12. Значит, общий знаменатель — $12x$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{12x}{4x} = 3$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{12x}{3x} = 4$.

Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель: $\frac{1}{4x} - \frac{1}{3x} = \frac{1 \cdot 3}{4x \cdot 3} - \frac{1 \cdot 4}{3x \cdot 4} = \frac{3}{12x} - \frac{4}{12x}$

Теперь вычитаем числители, а знаменатель оставляем прежним: $\frac{3 - 4}{12x} = \frac{-1}{12x} = -\frac{1}{12x}$

Ответ: $-\frac{1}{12x}$

б)

Чтобы сложить дроби $\frac{1}{m}$ и $\frac{5}{4m}$, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $m$ и $4m$ — это $4m$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{4m}{m} = 4$. Вторая дробь уже имеет общий знаменатель, ее дополнительный множитель равен 1.

Приводим первую дробь к общему знаменателю: $\frac{1}{m} + \frac{5}{4m} = \frac{1 \cdot 4}{m \cdot 4} + \frac{5}{4m} = \frac{4}{4m} + \frac{5}{4m}$

Складываем числители: $\frac{4 + 5}{4m} = \frac{9}{4m}$

Ответ: $\frac{9}{4m}$

в)

Для сложения дробей $\frac{2}{p}$ и $\frac{3}{pq}$ найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для $p$ и $pq$ — это $pq$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{pq}{p} = q$. Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель.

Выполняем преобразование и сложение: $\frac{2}{p} + \frac{3}{pq} = \frac{2 \cdot q}{p \cdot q} + \frac{3}{pq} = \frac{2q}{pq} + \frac{3}{pq} = \frac{2q+3}{pq}$

Ответ: $\frac{2q+3}{pq}$

г)

Чтобы выполнить вычитание $\frac{a}{xy} - \frac{b}{x}$, найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для $xy$ и $x$ — это $xy$.

Первая дробь уже имеет нужный знаменатель. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{xy}{x} = y$.

Приводим вторую дробь к общему знаменателю и выполняем вычитание: $\frac{a}{xy} - \frac{b}{x} = \frac{a}{xy} - \frac{b \cdot y}{x \cdot y} = \frac{a}{xy} - \frac{by}{xy} = \frac{a - by}{xy}$

Ответ: $\frac{a - by}{xy}$

д)

Рассмотрим вычитание дробей $\frac{m}{n^2} - \frac{1}{mn}$. Общий знаменатель для $n^2$ и $mn$ — это $mn^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{mn^2}{n^2} = m$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{mn^2}{mn} = n$.

Умножаем числители на дополнительные множители и вычитаем: $\frac{m}{n^2} - \frac{1}{mn} = \frac{m \cdot m}{n^2 \cdot m} - \frac{1 \cdot n}{mn \cdot n} = \frac{m^2}{mn^2} - \frac{n}{mn^2} = \frac{m^2 - n}{mn^2}$

Ответ: $\frac{m^2 - n}{mn^2}$

е)

Для сложения дробей $\frac{a}{3b^2} + \frac{8}{2ab}$ сначала найдем общий знаменатель. Знаменатели: $3b^2$ и $2ab$. НОК коэффициентов 3 и 2 равно 6. Общая часть переменных — $ab^2$. Таким образом, общий знаменатель равен $6ab^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{6ab^2}{3b^2} = 2a$. Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{6ab^2}{2ab} = 3b$.

Приводим дроби к общему знаменателю и складываем: $\frac{a \cdot 2a}{3b^2 \cdot 2a} + \frac{8 \cdot 3b}{2ab \cdot 3b} = \frac{2a^2}{6ab^2} + \frac{24b}{6ab^2} = \frac{2a^2 + 24b}{6ab^2}$

Теперь упростим полученную дробь, вынеся общий множитель 2 в числителе за скобки: $\frac{2(a^2 + 12b)}{6ab^2}$.

Сокращаем дробь на 2: $\frac{a^2 + 12b}{3ab^2}$.

Ответ: $\frac{a^2 + 12b}{3ab^2}$