Номер 502, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.2. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 502, страница 130.

Условие.

502. a) $\frac{3x}{x^2 + 4x + 4}$ И $\frac{x - 4}{5x + 10}$;

б) $\frac{1 + x}{x^2 + 2x + 4}$ И $\frac{x - 1}{x^3 - 8}$;

в) $\frac{x}{9 + 3x + x^2}$ И $\frac{5}{x^3 - 27}$;

г) $\frac{12}{(x - 3)^2}$ И $\frac{2 + x}{(3 - x)^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Чтобы привести дроби $\frac{3x}{x^2 + 4x + 4}$ и $\frac{x-4}{5x+10}$ к общему знаменателю, сначала разложим их знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби является полным квадратом: $x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x+2)^2$.

В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель за скобки: $5x + 10 = 5(x+2)$.

Таким образом, мы имеем дроби: $\frac{3x}{(x+2)^2}$ и $\frac{x-4}{5(x+2)}$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для знаменателей $(x+2)^2$ и $5(x+2)$ будет $5(x+2)^2$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для первой дроби дополнительный множитель: $\frac{5(x+2)^2}{(x+2)^2} = 5$.

Для второй дроби дополнительный множитель: $\frac{5(x+2)^2}{5(x+2)} = x+2$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{3x}{(x+2)^2} = \frac{3x \cdot 5}{(x+2)^2 \cdot 5} = \frac{15x}{5(x+2)^2}$.

$\frac{x-4}{5(x+2)} = \frac{(x-4)(x+2)}{5(x+2)(x+2)} = \frac{x^2 + 2x - 4x - 8}{5(x+2)^2} = \frac{x^2 - 2x - 8}{5(x+2)^2}$.

Ответ: $\frac{15x}{5(x+2)^2}$ и $\frac{x^2 - 2x - 8}{5(x+2)^2}$.

б)

Рассмотрим дроби $\frac{1+x}{x^2+2x+4}$ и $\frac{x-1}{x^3-8}$.

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $x^2+2x+4$ является неполным квадратом суммы и на множители не раскладывается. Знаменатель второй дроби является разностью кубов: $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)$.

Наименьший общий знаменатель равен $x^3 - 8$ или $(x-2)(x^2+2x+4)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x^2+2x+4} = x-2$.

Для второй дроби знаменатель уже является общим, поэтому дополнительный множитель равен 1.

Приведем первую дробь к общему знаменателю:

$\frac{1+x}{x^2+2x+4} = \frac{(1+x)(x-2)}{(x^2+2x+4)(x-2)} = \frac{x-2+x^2-2x}{x^3-8} = \frac{x^2-x-2}{x^3-8}$.

Вторая дробь остается без изменений: $\frac{x-1}{x^3-8}$.

Ответ: $\frac{x^2-x-2}{x^3-8}$ и $\frac{x-1}{x^3-8}$.

в)

Рассмотрим дроби $\frac{x}{9+3x+x^2}$ и $\frac{5}{x^3-27}$.

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $x^2+3x+9$ является неполным квадратом суммы. Знаменатель второй дроби является разностью кубов: $x^3-27 = x^3-3^3 = (x-3)(x^2+3x+9)$.

Наименьший общий знаменатель равен $x^3 - 27$ или $(x-3)(x^2+3x+9)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{x^2+3x+9} = x-3$.

Для второй дроби знаменатель уже является общим, поэтому дополнительный множитель равен 1.

Приведем первую дробь к общему знаменателю:

$\frac{x}{9+3x+x^2} = \frac{x(x-3)}{(x^2+3x+9)(x-3)} = \frac{x^2-3x}{x^3-27}$.

Вторая дробь остается без изменений: $\frac{5}{x^3-27}$.

Ответ: $\frac{x^2-3x}{x^3-27}$ и $\frac{5}{x^3-27}$.

г)

Рассмотрим дроби $\frac{12}{(x-3)^2}$ и $\frac{2+x}{(3-x)^2}$.

Преобразуем знаменатель второй дроби, используя свойство квадрата: $(a-b)^2 = (b-a)^2$.

$(3-x)^2 = (-(x-3))^2 = (x-3)^2$.

Таким образом, знаменатели обеих дробей одинаковы и равны $(x-3)^2$. Это и есть их общий знаменатель.

Дроби уже приведены к общему знаменателю. Вторую дробь можно переписать в виде $\frac{2+x}{(x-3)^2}$.

Ответ: $\frac{12}{(x-3)^2}$ и $\frac{2+x}{(x-3)^2}$.