Номер 496, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.2. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 496, страница 129.

Условие.

496. Верно ли, что любые две алгебраические дроби можно привести к общему знаменателю, равному произведению знаменателей данных дробей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Да, это утверждение верно. Любые две алгебраические дроби можно привести к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей.

Рассмотрим две произвольные алгебраические дроби: $$ \frac{A}{B} \quad \text{и} \quad \frac{C}{D} $$ где $A, B, C, D$ — многочлены, причем по определению алгебраической дроби ее знаменатель не может быть тождественно равен нулю, то есть $B \neq 0$ и $D \neq 0$.

Чтобы привести эти дроби к общему знаменателю, равному произведению их знаменателей $B \cdot D$, мы должны умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель, используя основное свойство дроби.

1. Для первой дроби $\frac{A}{B}$ дополнительным множителем будет знаменатель второй дроби, то есть многочлен $D$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $D$: $$ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot D}{B \cdot D} $$ Это преобразование является тождественным, так как мы умножаем дробь на $\frac{D}{D} = 1$ (поскольку $D \neq 0$).

2. Для второй дроби $\frac{C}{D}$ дополнительным множителем будет знаменатель первой дроби, то есть многочлен $B$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $B$: $$ \frac{C}{D} = \frac{C \cdot B}{D \cdot B} $$ Это преобразование также является тождественным, так как мы умножаем дробь на $\frac{B}{B} = 1$ (поскольку $B \neq 0$).

В результате мы получили две дроби: $$ \frac{A \cdot D}{B \cdot D} \quad \text{и} \quad \frac{C \cdot B}{B \cdot D} $$ Эти дроби имеют одинаковый знаменатель $B \cdot D$, который является произведением знаменателей исходных дробей. Таким образом, мы привели исходные дроби к общему знаменателю, равному произведению их знаменателей.

Пример: Приведем дроби $\frac{2a}{x-y}$ и $\frac{5b}{x+y}$ к общему знаменателю.

Знаменатели дробей: $(x-y)$ и $(x+y)$.
Их произведение, которое будет общим знаменателем: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $(x+y)$, а второй — на $(x-y)$: $$ \frac{2a}{x-y} = \frac{2a \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{2ax+2ay}{x^2-y^2} $$ $$ \frac{5b}{x+y} = \frac{5b \cdot (x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{5bx-5by}{x^2-y^2} $$ Обе дроби приведены к общему знаменателю $x^2-y^2$.

Следует отметить, что произведение знаменателей не всегда является наименьшим общим знаменателем, но оно всегда является одним из возможных общих знаменателей.

Ответ: Да, верно.