Номер 498, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.2. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 498, страница 130.

Условие.

498. a) $ \frac{x}{2} $ и $ \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{x}{5} $ и $ \frac{-3}{7} $;

в) $ \frac{2x}{5} $ и $ \frac{5}{-6} $;

г) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{7x}{-4} $;

д) $ \frac{5}{3x} $ и $ \frac{7}{6} $;

е) $ \frac{11}{2x} $ и $ \frac{3}{7} $;

ж) $ \frac{4}{x} $ и $ \frac{3}{-x} $;

з) $ \frac{1}{5x} $ и $ \frac{13}{-10x} $;

и) $ \frac{3}{x} $ и $ \frac{x}{3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Даны дроби $\frac{x}{2}$ и $\frac{1}{3}$.

Знаменатели дробей: 2 и 3. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей равен наименьшему общему кратному (НОК) чисел 2 и 3, то есть $НОК(2, 3) = 6$.

Приведем первую дробь к знаменателю 6. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 3 ($6 : 2 = 3$):
$\frac{x}{2} = \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3x}{6}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю 6. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 2 ($6 : 3 = 2$):
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$.

Ответ: $\frac{3x}{6}$ и $\frac{2}{6}$.

б) Даны дроби $\frac{x}{5}$ и $\frac{-3}{7}$.

Знаменатели дробей: 5 и 7. НОЗ для этих дробей равен $НОК(5, 7) = 35$.

Приведем первую дробь к знаменателю 35. Дополнительный множитель равен $35 : 5 = 7$:
$\frac{x}{5} = \frac{x \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{7x}{35}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю 35. Дополнительный множитель равен $35 : 7 = 5$:
$\frac{-3}{7} = \frac{-3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{-15}{35}$.

Ответ: $\frac{7x}{35}$ и $\frac{-15}{35}$.

в) Даны дроби $\frac{2x}{5}$ и $\frac{5}{-6}$.

Сначала преобразуем вторую дробь, перенеся знак минус в числитель: $\frac{5}{-6} = -\frac{5}{6} = \frac{-5}{6}$.

Теперь нужно привести к общему знаменателю дроби $\frac{2x}{5}$ и $\frac{-5}{6}$. Знаменатели: 5 и 6. НОЗ равен $НОК(5, 6) = 30$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $30 : 5 = 6$.
$\frac{2x}{5} = \frac{2x \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{12x}{30}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $30 : 6 = 5$.
$\frac{-5}{6} = \frac{-5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{-25}{30}$.

Ответ: $\frac{12x}{30}$ и $\frac{-25}{30}$.

г) Даны дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{7x}{-4}$.

Преобразуем вторую дробь: $\frac{7x}{-4} = -\frac{7x}{4} = \frac{-7x}{4}$.

Приводим к общему знаменателю дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{-7x}{4}$. Знаменатели: 3 и 4. НОЗ равен $НОК(3, 4) = 12$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $12 : 3 = 4$.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $12 : 4 = 3$.
$\frac{-7x}{4} = \frac{-7x \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{-21x}{12}$.

Ответ: $\frac{8}{12}$ и $\frac{-21x}{12}$.

д) Даны дроби $\frac{5}{3x}$ и $\frac{7}{6}$.

Знаменатели дробей: $3x$ и $6$. Общий знаменатель должен делиться на $3x$ и на $6$. Найдем НОК для числовых коэффициентов (3 и 6) и для переменных частей ($x$ и 1). $НОК(3, 6) = 6$. $НОК(x, 1) = x$. Таким образом, НОЗ равен $6x$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $6x : (3x) = 2$.
$\frac{5}{3x} = \frac{5 \cdot 2}{3x \cdot 2} = \frac{10}{6x}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $6x : 6 = x$.
$\frac{7}{6} = \frac{7 \cdot x}{6 \cdot x} = \frac{7x}{6x}$.

Ответ: $\frac{10}{6x}$ и $\frac{7x}{6x}$.

е) Даны дроби $\frac{11}{2x}$ и $\frac{3}{7}$.

Знаменатели дробей: $2x$ и $7$. НОЗ равен $НОК(2x, 7)$. $НОК(2, 7) = 14$. $НОК(x, 1) = x$. Значит, НОЗ равен $14x$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $14x : (2x) = 7$.
$\frac{11}{2x} = \frac{11 \cdot 7}{2x \cdot 7} = \frac{77}{14x}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $14x : 7 = 2x$.
$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 2x}{7 \cdot 2x} = \frac{6x}{14x}$.

Ответ: $\frac{77}{14x}$ и $\frac{6x}{14x}$.

ж) Даны дроби $\frac{4}{x}$ и $\frac{3}{-x}$.

Преобразуем вторую дробь, перенеся знак минус из знаменателя в числитель: $\frac{3}{-x} = -\frac{3}{x} = \frac{-3}{x}$.

Теперь нужно привести к общему знаменателю дроби $\frac{4}{x}$ и $\frac{-3}{x}$. У этих дробей уже одинаковый знаменатель $x$.

Поэтому дроби в приведенном виде: $\frac{4}{x}$ и $\frac{-3}{x}$.

Ответ: $\frac{4}{x}$ и $\frac{-3}{x}$.

з) Даны дроби $\frac{1}{5x}$ и $\frac{13}{-10x}$.

Преобразуем вторую дробь: $\frac{13}{-10x} = \frac{-13}{10x}$.

Приводим к общему знаменателю дроби $\frac{1}{5x}$ и $\frac{-13}{10x}$. Знаменатели: $5x$ и $10x$. НОЗ равен $НОК(5x, 10x) = 10x$.

Вторая дробь уже имеет знаменатель $10x$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $10x : (5x) = 2$.
$\frac{1}{5x} = \frac{1 \cdot 2}{5x \cdot 2} = \frac{2}{10x}$.

Ответ: $\frac{2}{10x}$ и $\frac{-13}{10x}$.

и) Даны дроби $\frac{3}{x}$ и $\frac{x}{3}$.

Знаменатели дробей: $x$ и $3$. НОЗ равен их произведению, то есть $3x$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $3x : x = 3$.
$\frac{3}{x} = \frac{3 \cdot 3}{x \cdot 3} = \frac{9}{3x}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $3x : 3 = x$.
$\frac{x}{3} = \frac{x \cdot x}{3 \cdot x} = \frac{x^2}{3x}$.

Ответ: $\frac{9}{3x}$ и $\frac{x^2}{3x}$.