Номер 497, страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.2. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 497, страница 129.

Условие.

Приведите к общему знаменателю дроби (497–502):

497. а) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{4}{5} $;

б) $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{6}{7} $;

в) $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{5}{-9} $;

г) $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{3}{-7} $;

д) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{5}{6} $;

е) $ \frac{13}{14} $ и $ \frac{6}{7} $;

ж) $ \frac{7}{9} $ и $ \frac{5}{-3} $;

з) $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{3}{-10} $;

и) $ \frac{3}{10} $ и $ \frac{4}{15} $;

к) $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{1}{16} $;

л) $ \frac{8}{14} $ и $ \frac{5}{-21} $;

м) $ \frac{7}{24} $ и $ \frac{1}{-18} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Даны дроби $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{4}{5} $. Знаменатели 3 и 5 являются взаимно простыми числами, поэтому наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен их произведению: НОЗ = $ 3 \cdot 5 = 15 $. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби дополнительный множитель равен $ 15 \div 3 = 5 $. Для второй дроби дополнительный множитель равен $ 15 \div 5 = 3 $. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель: $ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} $ и $ \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15} $.
Ответ: $ \frac{10}{15} $ и $ \frac{12}{15} $.

б) Даны дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{6}{7} $. Знаменатели 4 и 7 — взаимно простые числа, поэтому НОЗ равен их произведению: НОЗ = $ 4 \cdot 7 = 28 $. Дополнительный множитель для дроби $ \frac{3}{4} $ равен $ 28 \div 4 = 7 $. Дополнительный множитель для дроби $ \frac{6}{7} $ равен $ 28 \div 7 = 4 $. Приводим дроби к общему знаменателю: $ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{21}{28} $ и $ \frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{24}{28} $.
Ответ: $ \frac{21}{28} $ и $ \frac{24}{28} $.

в) Даны дроби $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{5}{-9} $. Сначала преобразуем вторую дробь, перенеся знак минус из знаменателя в числитель: $ \frac{5}{-9} = \frac{-5}{9} $. Теперь имеем дроби $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{-5}{9} $. Их знаменатели уже одинаковы и равны 9, поэтому дроби приведены к общему знаменателю.
Ответ: $ \frac{8}{9} $ и $ \frac{-5}{9} $.

г) Даны дроби $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{3}{-7} $. Преобразуем вторую дробь: $ \frac{3}{-7} = \frac{-3}{7} $. Теперь нужно привести к общему знаменателю дроби $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{-3}{7} $. Знаменатели 5 и 7 — взаимно простые, поэтому НОЗ = $ 5 \cdot 7 = 35 $. Дополнительные множители: для $ \frac{4}{5} $ это $ 35 \div 5 = 7 $, для $ \frac{-3}{7} $ это $ 35 \div 7 = 5 $. Умножаем: $ \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{28}{35} $ и $ \frac{-3}{7} = \frac{-3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{-15}{35} $.
Ответ: $ \frac{28}{35} $ и $ \frac{-15}{35} $.

д) Даны дроби $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{5}{6} $. Знаменатель одной дроби (6) делится на знаменатель другой дроби (3). В этом случае наименьший общий знаменатель равен большему из знаменателей, то есть 6. Для дроби $ \frac{5}{6} $ знаменатель уже 6. Для дроби $ \frac{2}{3} $ найдем дополнительный множитель: $ 6 \div 3 = 2 $. Приводим первую дробь к знаменателю 6: $ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} $.
Ответ: $ \frac{4}{6} $ и $ \frac{5}{6} $.

е) Даны дроби $ \frac{13}{14} $ и $ \frac{6}{7} $. Знаменатель 14 делится на 7, поэтому НОЗ равен 14. Дробь $ \frac{13}{14} $ уже имеет нужный знаменатель. Для дроби $ \frac{6}{7} $ дополнительный множитель равен $ 14 \div 7 = 2 $. Умножаем: $ \frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{12}{14} $.
Ответ: $ \frac{13}{14} $ и $ \frac{12}{14} $.

ж) Даны дроби $ \frac{7}{9} $ и $ \frac{5}{-3} $. Преобразуем вторую дробь: $ \frac{5}{-3} = \frac{-5}{3} $. Получили дроби $ \frac{7}{9} $ и $ \frac{-5}{3} $. Знаменатель 9 делится на 3, поэтому НОЗ равен 9. Для дроби $ \frac{-5}{3} $ дополнительный множитель равен $ 9 \div 3 = 3 $. Приводим вторую дробь к знаменателю 9: $ \frac{-5}{3} = \frac{-5 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{-15}{9} $.
Ответ: $ \frac{7}{9} $ и $ \frac{-15}{9} $.

з) Даны дроби $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{3}{-10} $. Преобразуем вторую дробь: $ \frac{3}{-10} = \frac{-3}{10} $. Получили дроби $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{-3}{10} $. Знаменатель 10 делится на 5, поэтому НОЗ равен 10. Для дроби $ \frac{1}{5} $ дополнительный множитель $ 10 \div 5 = 2 $. Умножаем: $ \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10} $.
Ответ: $ \frac{2}{10} $ и $ \frac{-3}{10} $.

и) Даны дроби $ \frac{3}{10} $ и $ \frac{4}{15} $. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 10 и 15. Разложим их на простые множители: $ 10 = 2 \cdot 5 $; $ 15 = 3 \cdot 5 $. НОК(10, 15) = $ 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 $. Это будет НОЗ. Дополнительный множитель для $ \frac{3}{10} $ равен $ 30 \div 10 = 3 $. Дополнительный множитель для $ \frac{4}{15} $ равен $ 30 \div 15 = 2 $. Приводим дроби: $ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30} $ и $ \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{8}{30} $.
Ответ: $ \frac{9}{30} $ и $ \frac{8}{30} $.

к) Даны дроби $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{1}{16} $. Найдем НОК знаменателей 12 и 16. $ 12 = 2^2 \cdot 3 $; $ 16 = 2^4 $. НОК(12, 16) = $ 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48 $. Дополнительные множители: для $ \frac{5}{12} $ это $ 48 \div 12 = 4 $, для $ \frac{1}{16} $ это $ 48 \div 16 = 3 $. Приводим дроби: $ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{20}{48} $ и $ \frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{3}{48} $.
Ответ: $ \frac{20}{48} $ и $ \frac{3}{48} $.

л) Даны дроби $ \frac{8}{14} $ и $ \frac{5}{-21} $. Преобразуем вторую дробь: $ \frac{5}{-21} = \frac{-5}{21} $. Найдем НОК для 14 и 21. $ 14 = 2 \cdot 7 $; $ 21 = 3 \cdot 7 $. НОК(14, 21) = $ 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 $. Дополнительные множители: для $ \frac{8}{14} $ это $ 42 \div 14 = 3 $, для $ \frac{-5}{21} $ это $ 42 \div 21 = 2 $. Приводим дроби: $ \frac{8}{14} = \frac{8 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{24}{42} $ и $ \frac{-5}{21} = \frac{-5 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{-10}{42} $.
Ответ: $ \frac{24}{42} $ и $ \frac{-10}{42} $.

м) Даны дроби $ \frac{7}{24} $ и $ \frac{1}{-18} $. Преобразуем вторую дробь: $ \frac{1}{-18} = \frac{-1}{18} $. Найдем НОК для 24 и 18. $ 24 = 2^3 \cdot 3 $; $ 18 = 2 \cdot 3^2 $. НОК(24, 18) = $ 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 $. Дополнительные множители: для $ \frac{7}{24} $ это $ 72 \div 24 = 3 $, для $ \frac{-1}{18} $ это $ 72 \div 18 = 4 $. Приводим дроби: $ \frac{7}{24} = \frac{7 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{21}{72} $ и $ \frac{-1}{18} = \frac{-1 \cdot 4}{18 \cdot 4} = \frac{-4}{72} $.
Ответ: $ \frac{21}{72} $ и $ \frac{-4}{72} $.